第9讲 角的平分线的性质-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 角的平分线的性质 【要点梳理】 要点一、角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 要点二、角的平分线的判定 　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质 1．如图，∠ACB＝90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AE＝CF. 【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE＝DC，为证明三角形全等提供了条件. 【答案与解析】 证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF 　　　∴DE＝DC（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 　　　在△ADE和△FDC中 　　　　 　　　　∴△ADE≌△FDC(ASA) 　　　　∴AE＝CF 【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理. 2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6, 则△DEB的周长为( ) A. 4 B. 6 C.10 D. 以上都不对 【答案】B； 【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6. 【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键. 举一反三： 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（　 ） A．3：2 B． C．2：3 D. 【答案】B； 提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为． 3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论． 【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论. 【答案与解析】 解：DF＝EF． 理由如下： ∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E， ∴PD＝PE， 由HL定理易证△OPD≌△OPE， ∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF． 在△DPF与△EPF中， ， ∴△DPF≌△EPF， ∴DF＝EF. 【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 1、已知：如图，在中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE＝AF． 【答案与解析】 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等） （垂直定义） 在和中 ∴≌（HL） ∴ 【总结升华】先由角平分线的性质得出DE＝DF，再证≌，即可得出AE＝AF.分析已知，寻找条件，顺次证明． 举一反三： 【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC. 求证：BE＝CF. 【答案】 证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BA