第8讲 直角三角形全等判定-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝CD： （2）AD∥BC． 【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】 证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90° 在Rt△ABD 和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL） ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB＝∠CBD ∴AD∥BC . 【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. 举一反三： 【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． 【答案】 证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠DAE＝∠CBA＝90° 在Rt△DAE 与Rt△CBA中， ∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL） ∴∠E＝∠CAB ∵∠CAB＋∠EAF＝90°， ∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90° 即ED⊥AC． 2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （3）两直角边对应相等； （ ） （4）一条直角边和斜边对应相等． （ ） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断. 【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 举一反三： 【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形. （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） 【答案】（1）√； （2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF （3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高， 3、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD． 求证：AD＝BC； 【思路点拨】如果想去证两个小的直角三角形全等的话，会发现除了直角和对顶角，就没有别的条件了，AC＝BD用不上，所以另想办法，连接DC，在Rt△ADC与Rt△BCD中，问题迎刃而解. 【答案与解析】 证明：连接DC ∵AD⊥AC，BC⊥BD ∴∠DAC＝∠CBD＝90° 在Rt△ADC与Rt△BCD中， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL） ∴AD＝BC .（全等三角形对应边相等） 【总结升华】证明的时候要考虑所给的条件能用上，所给的线段不能割裂开. 举