第9讲 立体几何（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—立体几何（2） 一、基础知识 平行、垂直、空间角、距离 二、典型例题 1.设三棱锥的三个侧面与底面的夹角都是60°，底面边长为7，8，9，则棱锥的侧面积为_______. 2.四棱锥的四个侧面都是腰长为，底面边长为2的等腰三角形，则此四棱锥体积的最大可能值为___________. 3.设正三棱锥V - ABC的底面边长为4，侧棱长为8．过A作与侧棱VB，VC相交的截面AED，求截面周长的最小值。 4.已知一圆台上底半径，下底半径，母线，从的中点拉一根绳子，围绕圆台侧面转到下底圆周上的点．求： （1）绳子最短要多长？（2）当绳子最短时，绳子上的点与上底圆周上点的连接线段的最小长度． 5.已知正三棱锥S - ABC的高SO＝3，底面边长为6．过点A向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O’，在AO’上取一点P，使得AP：PO’＝8，求经过点P且平行于底面的截面面积． 6.已知ABCD是单位正方形，P是AB边中点．沿着PC和PD把ABCD翻折成四面体PACD（A与B重合），则四面体PACD的体积等于（ ） A． B． C． D． 7.将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器，这个正四面体的高的最小值为（ ） A． B． C． D． 8.三棱锥P - ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=a，AB=2a，PA=3a，过AB作截面交PC于点D，则截面ABD的最小面积为（ ） A． B． C． D． 9.在正三棱柱中，AB=3,AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求PC和NC的长． $高一数学培优课—立体几何（2） 一、基础知识 平行、垂直、空间角、距离 二、典型例题 1.设三棱锥的三个侧面与底面的夹角都是60°，底面边长为7，8，9，则棱锥的侧面积为_______. 解：顶点P在底面ABC上的投影是的内心，斜高为的内切圆半径， 所以 2.四棱锥的四个侧面都是腰长为，底面边长为2的等腰三角形，则此四棱锥体积的最大可能值为___________. 解：满足要求的四棱锥有如下三种情形： （1） 如图，四条侧棱长均为，计算得。 （2） 如图，有两天侧棱长为。 （3） 如图，三条侧棱OB,OC,OD长为，一条侧棱OA=2. 设AD与BC交于点E，记BE=x。 由于AB=AC=,BD=DC=2,,则有 ， 将前面的结果代入上式，解得。显然，故。 此时。 综上所述知，，所以最大体积为3. 3.设正三棱锥V - ABC的底面边长为4，侧棱长为8．过A作与侧棱VB，VC相交的截面AED，求截面周长的最小值。 解： 如图A，沿三棱锥表面切开，其展开图如图B，当且仅当D,E在连线上时，的周长最小。 在中，由余弦定理得： 所以。 4.已知一圆台上底半径，下底半径，母线，从的中点拉一根绳子，围绕圆台侧面转到下底圆周上的点．求： （1）绳子最短要多长？（2）当绳子最短时，绳子上的点与上底圆周上点的连接线段的最小长度． 解：如图 5.已知正三棱锥S - ABC的高SO＝3，底面边长为6．过点A向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O’，在AO’上取一点P，使得AP：PO’＝8，求经过点P且平行于底面的截面面积． 解： 6.已知ABCD是单位正方形，P是AB边中点．沿着PC和PD把ABCD翻折成四面体PACD（A与B重合），则四面体PACD的体积等于（ B ） A． B． C． D． 解： 7.将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器，这个正四面体的高的最小值为（ ） A． B． C． D． 解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小. 于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的。 所以，小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是(1即小钢球的半径) 所以可知正四棱锥的高的最小值为 8.三棱锥P - ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=a，AB=2a，PA=3a，过AB作截面交PC于点D，则截面ABD的最小面积为（ ） A． B． C． D． 解： 9.在正三棱柱中，AB=3,AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求PC和NC的长． 解： $