第8讲 立体几何（1）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—立体几何（1） 一、基础知识 平行、垂直、空间角、距离 二、典型例题 1.从O点引出三条射线OA,OB,OC，其两两之间的夹角分别是60°，90°，120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？ 2.将给定的两个全等的正三棱锥的底面重叠后粘在一起，恰好得到一个所有二面角都相等的六面体，且该六面体的最短棱长为2，则最远的两顶点间的距离是___________. 3.正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，F是BC边上的一动点，将及分别沿DE，DF折起，使A，C重合于A’，则A’点到平面DEF的距离的最大值为 ___________. 4.P，A，B，C，D是空间中不同的五个点，使得，这里θ是一个给定的锐角，试求出的最大值和最小值。 5.一个球与正六面体的六条棱都相切，若正方体的棱长为a，求这个球的体积。 6.已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其余3个球相外切，另外有一个小球与这4个球都相外切，求该小球的半径。 正四面体ABCD的棱长为1，点P，Q分别在线段AB，CD上，则P，Q两点间距离的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.已知球面上有A，B，C，D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且，则球面面积最小为（ ） A．40π B．45π C．48π D．52π 8.若圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱体积的最小可能值是（ ） A．48π B．50π C．54π D．66π $高一数学培优课—立体几何（1） 一、基础知识 平行、垂直、空间角、距离 二、典型例题 1.从O点引出三条射线OA,OB,OC，其两两之间的夹角分别是60°，90°，120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？ 解： 见图，不妨设OA与OB夹角为60°，OB与OC夹角为120°，OC与OA夹角为90°，在OA，OB，OC上分别取点A'，B'，C'，使得OA'=OB'=0C'=1. 作的角平分线分别交A'B'， B'C'， C'A'于Ｄ， E， F， 则ODA'B'，OEB'C'，OFC'A'.且D,E，F分别是A'B'，B'C'，C'A'的中点. 在正△OA'B'中,A'B'=1。在等腰Rt△OA'C'中，A'C'= △OB'C'中，由余弦定理得： 又。 且 所以 所以这个角的角平分线两两之间夹角最小值为。 2.将给定的两个全等的正三棱锥的底面重叠后粘在一起，恰好得到一个所有二面角都相等的六面体，且该六面体的最短棱长为2，则最远的两顶点间的距离是___________. 解： 该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b。取CD重点G，则，故是二面角的平面角。 由，作平面。 ， 所以，最远的两个顶点距离为3. 3.正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，F是BC边上的一动点，将及分别沿DE，DF折起，使A，C重合于A’，则A’点到平面DEF的距离的最大值为 ___________. 解： 4.P，A，B，C，D是空间中不同的五个点，使得，这里θ是一个给定的锐角，试求出的最大值和最小值。 解： 如图。 5.一个球与正六面体的六条棱都相切，若正方体的棱长为a，求这个球的体积。 解： 6.已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其余3个球相外切，另外有一个小球与这4个球都相外切，求该小球的半径。 解： 7.已知球面上有A，B，C，D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且，则球面面积最小为（ C） A．40π B．45π C．48π D．52π 解：把这四个点补形成一个长方体，这个长方体的重心就是这个球的球心。球的直径就是这个长方体对角线长度，球的面积仅与球的半径有关，因此只需求出球半径的最小值即可。 设球半径为。 因此球面最小面积为 8.若圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱体积的最小可能值是（C） A．48π B．50π C．54π D．66π 解： $