4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用-2020-2021学年高一数学同步精美课件（北师大版2019必修第二册）

两角和与差的余弦公式及其应用 授课教师： 温故知新 2 同角三角函数的基本关系 基本关系式 综合应用 由一个三角函数值求其他三角函数值 学习目标 1.掌握两角和与差的余弦公式；（重点） 2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证 明.（难点） 3 课文精讲 问题提出 已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出 α +β ， α-β的余弦吗? 两角和与差的余弦公式及其应用 4 课文精讲 分析理解 现在，考虑cos(α-β)与角α，β的正弦和余 弦的关系. 因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论 α≥β. 两角和与差的余弦公式及其应用 5 课文精讲 分析理解 如图，设角α，β的终边与单位圆的交点 分别记为P，Q.此时，点P和点Q的坐标分别 为(cosα，sinα)和(cosβ，sinβ). 两角和与差的余弦公式及其应用 O 1 x y α P β Q 6 课文精讲 分析理解 如果0≤α-β≤π，那么可以用向量的数量积 求cos(α-β).由于向量和向量都是单位向 量，它们的夹角是α-β，根据向量数量积的定 义知， · = cos(α-β)，再利用向量的坐 标表示，得 cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ. 两角和与差的余弦公式及其应用 O 1 x y α P β Q 7 课文精讲 分析理解 如果π≤α-β≤2π，那么2π- (α-β)是向量 和向量的夹角(如图).由诱导公式知， ]= (α-β). 所以cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ. 对于任意角α，β来说，上述结论仍然成立. 两角和与差的余弦公式及其应用 O 1 x y α P β Q 8 课文精讲 这样就得到了两角差的余弦公式： cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ，记作Cα-β. 因为α+β=α-(-β) ，所以由公式Cα-β，得 cos(α+β)= cos[α- (-β)] =cosαcos (-β)+sinαsin (-β) = cosαcosβ-sinαsinβ. 这就是两角和的余弦公式，记作Cα+β. 这里用的是加法和减法运 算的联系.因为Cα-