专题03 解三角形【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教B版2019）

专题03 解三角形【知识梳理】 一、正弦定理和余弦定理 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)； cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【例题1】在 中， 分别是内角 的对边， ， ，当内角 最大时， 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 已知等式利用正弦定理化简得： ， 两边平方得： ，即 ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 则 的最小值为 ，此时C最大，且 ， 则 的面积 ， 【例题2】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，且 ， ，则 （ ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【详解】 ∵ ， ∴ ． ①当 时， 为直角三角形，且 ． ∵ ， ， ∴ ． ②当 时，则有 ， 由正弦定理得 ． 由余弦定理得 ， 即 ， 解得 ． 综上可得， 1或 【跟踪训练1】在 中， ，且 的面积为 ，则 外接圆的半径为（　　） A． B． C．2 D．4 【跟踪训练2】在 中，角 、 、 对边分别为 、 、 ，若 ， ，且 ，则 的周长是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、解三角形的实际应用 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2). 3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 【例题1】 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 【例题2】如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东 方向，后来船沿南偏东 的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北 方向，则这时船与灯塔的距离是： A．10km B．20km C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，可得 ，即 ， 在 中，利用正弦定理得 ， 即这时船与灯塔的距离是 EMBED Equation.DSMT4 ，故选C． 【跟踪训练1】在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A、B两点距离是（ ） A． km B． km C． km D． km 【跟踪训练3】如图所示，已知灯塔A在观察站C的北偏东20°，距离为 ，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为 ，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权