专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教B版2019）

专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】 一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影 1、(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉. (2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉. (3)向量垂直：如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则a与b垂直，记作a⊥b. 2、已知向量a和轴l(如图)，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量eq \o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量. eq \o(OA,\s\up6(→))＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ. 【例题1】已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可得 ， ， 故 在 方向上的投影为 . 【例题2】已知非零 在非零 方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（ ） A． 在 方向上的投影一定是m B． 在 方向上的投影一定是km C． 在 方向上的投影一定是km D． 在 方向上的投影一定m 【答案】D 【详解】 解：∵ 在 方向上的投影是m， ∴ ， ∵ ，k≠0， ， ∴ 在 (k≠0)方向上的投影为 ，当k>0时， 在k 方向上的投影为m. 故选：D. 【跟踪训练1】 ， ，向量 与 向量的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影等于（ ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练2】 向量 的模为10，它与向量 的夹角为 ，则它在 方向上的投影为（ ） A．5 B． C． D． 跟踪训练3】 已知单位向量 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 二.向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义： |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝eq \r(a·a)＝2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) . ③夹角：cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝2,1)eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋yeq \o\al(2,1))·\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))) . ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ 2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) ·2,2)eq \r(x＋yeq \o\al(2,2)) . 【例题1】四边形 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意知，四边形 为直角梯形， ， 所以 ． 故选：B． 【例题 2】 已知菱形 的边长为 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， 故选：B 【跟踪训练1】 在边长为3的等边三角形 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】 若 是半径为 的圆上的三个点，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】 在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则 （ ） A． B． C． D． 三.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【例题1】 已知非零向量 、 满足 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为 ，则 ，所以， ， 因为 ，则 ，解得 . 【例题2】 已知 ， ，若关于 的不等式 恒成立，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为 ， ，且关于 的不等式 恒成立， 所以 ， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 所以 ， ，又 ， 所以 故选：B 【跟踪训练1】 已知平面向量 ，与 ， 与 的夹角为 ，且 与 垂直，则 （ ） A． B． C． D． 【跟踪训