专题01 三角函数【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（新人教B版2019）

专题01 三角函数【知识梳理】 一、三角函数的概念 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.)) (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. 【例题1】已知角 的角度数是50°，则角 的弧度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 , 角 的弧度数是 . 【例题2】下列各对角中，终边相同的是（ ） A． EMBED Equation.DSMT4 B． EMBED Equation.DSMT4 C． EMBED Equation.DSMT4 D． EMBED Equation.DSMT4 【答案】C 【详解】 若终边相同，则两角差 ,或 . . ，故 选项错误; . ,故 选项错误; . ,故 选项正确; . ,故 选项错误. 【跟踪训练1】已知扇形的圆心角为 ，周长为 ，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知 是第二象限的角，那么 是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 【跟踪训练3】工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为 ，外圆半径为 ，内圆半径为 .则制作这样一面扇面需要的布料为（ ） . A． B． C． D． 二、同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：eq \f(sin α,cos α)＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α eq \f(π,2)－α eq \f(π,2)＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β). 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tan φ＝\f(a,b))). 【例题1】把角 终边逆时针方向旋转 后经过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可知 ，所以 . 【例题2】已知 ，则 （