第九章 章末整合提升-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

一、利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决. 解斜三角形通常有以下四种类型 已知条件 应用定理[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一般解法 一边和两角(如a，∠B，∠C) 正弦定理 由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠A，由正弦定理求出b与c. 只有一解. 两边和夹角(如a，b，∠C) 余弦定理[来源:Z。xx。k.Com] 正弦定理 由余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出另一角. 只有一解. 三边(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出∠A，∠B，再利用∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠C. 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a，b，∠A) 正弦定理 或余弦定理 由正弦定理求出∠B，由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠C，再利用正弦定理求出边c，可有两解、一解或无解.也可根据余弦定理，列出关于c的一元二次方程，解方程求边c，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素. [例1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求角B的大小； (2)若∠A＝75°，b＝2，求a，c. [解析]　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2. ∵b2＝a2＋c2－2accos B， ∴cos B＝，∴∠B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. ∴a＝b·＝1＋. ∵∠C＝180°－45°－75°＝60°， ∴c＝b·＝2·＝. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，cos A＝，sin B＝，c>4. (1)求b. (2)求△ABC的周长. 解析　(1)因为a＝4，cos A＝，sin B＝， 所以sin A＝＝， 所以由正弦定理可得，b＝＝＝5. (2)因为由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得：16＝25＋c2－2×5·c·， 整理可得：2c2－15c＋18＝0，解得：c＝6或(由c>4，舍去)， 所以△ABC的周长＝a＋b＋c＝4＋5＋6＝15. 二、三角形中的计算问题 三角形中计算问题主要涉及三角形的边长、角度及面积的计算和三角形形状的判断.在三角形的面积公式中，S＝absin C＝acsin B＝bcsin A是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易与正弦定理、余弦定理联系起来. 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的大小的计算，利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，将已知量与待求量集中在同一个三角形中，依次解三角形求解. 角度1　判断三角形的形状[来源:Zxxk.Com] [例2－1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tan＝acos，试判断三角形形状. [解析]　∵sin＝acoscos. ∴2bsincos＝a. ∴bsin A＝acos＝acos＝asin. 由正弦定理得sin Bsin A＝sin Asin. ∵sin A≠0，∴2sincos＝sin. ∵sin≠0，∴cos＝. ∵0＜B＜π，∴B＝， 故△ABC为钝角三角形. 角度2　三角形的面积及最值问题 [例2－2]　在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，a＝2csin A.[来源:Z+xx+k.Com] (1)求角C. (2)若△ABC的面积等于，求a，b. (3)求△ABC的面积最大值. [解析]　(1)因为a＝2csin A， 所以sin A＝2sin Csin A， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin C＝， 因为△ABC为锐角三角形，所以C＝. (2)因为C＝，c＝2，由余弦定理及已知条件， 得a2＋b2－ab＝4，① 又因为△ABC的面积等于， 所以absin C＝，得ab＝4.② 联立①②，解得 (3)由①可得，4＋ab≥2ab， 即ab≤4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)， 所以S△ABC＝absin C≤×4×＝， 即当a＝b＝2时，△ABC的面积的最大值等于. 2.a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边.已知a(sin A＋4sin B)＝8sin A. (1)若b＝1，A＝，求sin B； (2)已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长. 解析　(1)由a(sin A＋4sin B)＝8sin A， 得a(a＋4b)＝8a，即a＋4b＝8. 因为b＝1，所以a＝4. 由＝，得sin B＝. (2)因为a＋4b＝8≥2＝4， 所以ab≤4，当且仅当a＝4b＝4时，等号成立.