11.4.2 平面与平面垂直-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.4.2　平面与平面垂直 学业标准 学科素养 1.理解二面角的概念、会求二面角的大小.(重点) 2.了解平面与平面垂直的意义. 3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题.(重点、难点) 1.通过对二面角、平面与平面垂直的认识，培养数学抽象核心素养； 2.通过垂直关系的证明，培养逻辑推理和直观想象核心素养； 3.通过根据面面垂直关系进行相关计算，培养数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学1　二面角的概念 [问题1]　空间中两条异面直线所成的角的取值范围是[0°，90°]吗？ [提示]　不是，当两条直线平行时，规定它们所成的角为0°，而两条直线平行的话，它们是共面的. [问题2]　应该用什么量刻画两个面的“夹角”？ [提示]　二面角. ◎结论形成 1.二面角的概念 概念[来源:Z|xx|k.Com] 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 图示及 记法 棱为l，面分别为α和β的二面角记为α－l－β.如图所示. 也可以在α和β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作P－l－Q. 2.二面角的平面角 定义 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 图示 范围 0°≤∠AOB≤180°. 规定[来源:学&科&网Z&X&X&K] ①二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角称为直二面角. ②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小. ◇导学2　平面与平面垂直 [问题1]　两条直线所成的角等于90°时，它们的位置关系是什么？ [提示]　垂直. [问题2]　直线与平面所成的角等于90°时，它们的位置关系是什么？ [提示]　垂直. ◎结论形成 平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面垂直，记作α⊥β. (2)平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理) 文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 图形语言 符号语言 如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β. ◇导学3　平面与平面垂直的性质定理 [问题1]　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅垂线，则说明墙和地面什么关系？此时铅垂线与地面什么关系？ [提示]　都是垂直. [问题2]　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ [提示]　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直. ◎结论形成 平面与平面垂直的性质定理(简称为面面垂直的性质定理) 文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 图形语言 符号语言 如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β. [基础自测] 1.已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 A.有1个　　　　　　　 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 解析　经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个. 答案　C 2.(多选题)下列命题中正确的是 A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β B.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β C.如果平面α不垂直于平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析　若α⊥β，则α与β必相交，故在α内平行于它们交线的直线必平行于β，故A正确，B错误.由面面垂直的判定定理知C正确，由性质知D正确. 答案　ACD 3.给出下列命题：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是 A.①③　　　 B.③ C.②③　　　 D.① 解析　①由二面角的定义知①错误；②所作的射线不一定垂直于二面角的棱；③由等角定理，角的两边分别平行且方向相同，可知角是相等的，故二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关. 答案　B 4.如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________.