11.4.1 直线与平面垂直-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.4　空间中的垂直关系 §11.4.1　直线与平面垂直 学业标准 学科素养 1.理解并会求异面直线所成的角.(重点) 2.了解直线与平面垂直的定义. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的垂直关系问题.(重点、难点) 1.通过认识异面直线所成的角、直线与平面垂直的定义等培养数学抽象核心素养； 2.通过垂直关系的证明，培养逻辑推理和直观想象核心素养； 3.通过根据线面垂直关系进行相关计算，培养数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学1　异面直线所成的角 [问题1]　平面内两条直线平行与垂直时，它们所成的角分别为多少？ [提示]　平行时0°，垂直时90°. [问题2]　异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？ [提示]　这个角的大小与O点的位置无关. [问题3]　异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？ [提示]　异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b. ◎结论形成 1.定义：如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′， b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. 2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°. 3.垂直：空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m. ◇导学2　直线与平面垂直及其判定定理 [问题1]　将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.折痕AD与桌面一定垂直吗？ [提示]　不一定. [问题2]　在问题1中条件下，当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ [提示]　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直. [问题3]　直线与平面垂直，它和该平面内的任意直线都垂直吗？ [提示]　垂直. ◎结论形成 1.直线与平面垂直 定义 直线l与平面α垂直，指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直. 记法 l⊥α 图示及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 性质 直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直. 即l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m. 2.直线与平面垂直的判定定理(简称为线面垂直的判定定理) 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 图形语言 符号语言 如果n⊂α，m⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，则l⊥α. ◇导学3　直线与平面垂直的性质 [问题1]　如果直线a垂直于平面α，直线b在平面α内，那么直线b与平面α有什么位置关系？ [提示]　垂直. [问题2]　两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？ [提示]　垂直. [问题3]　两条直线都垂直于同一个平面，这两条直线有什么位置关系？ [提示]　平行. ◎结论形成 1.线面垂直的性质 (1)如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (2)过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.直线与平面垂直的性质定理(简称为线面垂直的性质定理) 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 图形语言 符号语言 如果l⊥α，m⊥α，则l∥m. ◇导学4　直线与平面所成的角[来源:学*科*网Z*X*X*K] 斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成. [问题1]　图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？ [提示]　不同. [问题2]　能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？ [提示]　能. [问题3]　直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？ [提示]　能. ◎结论形成 1.直线与平面所成的角： 如图所示，A∉α，C∈α，AC与α不垂直，AB⊥α，则称AC是平面α的斜线段，称为平面α的斜线，C为斜足，直线BC称为直线AC在平面α的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角. 2.直线与平面所成角的取值范围为：[0°，90°]. 3.根据线面垂直，我们可以求点到平面的距离，进而可以求直线与平行平面间的距离和两个平行平面间的距离. [基础自测] 1.在正方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的