11.3.1 平行直线与异面直线-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.3　空间中的平行关系 §11.3.1　平行直线与异面直线 学业标准 学科素养 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直线平行性的传递性.(重点) 2.理解异面直线的概念并会判断两直线是否异面.(重点、难点) 1.通过学习异面直线的定义，培养数学抽象核心素养. 2.通过判断两直线间的位置关系，培养逻辑推理核心素养. [教材梳理] ◇导学1　平行直线与等角定理 [问题1]　过直线外一点可以作几条直线与已知直线平行？ [提示]　一条. [问题2]　如果直线a//b，b//c，那么a//c吗？ [提示]　平行. ◎结论形成 1.空间平行线的传递性： (1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)图形语言： (3)符号语言：如果a//b，a//c，那么b//c. 2.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. ◇导学2　异面直线 [问题1]　空间中两条直线有几种位置关系？ [提示]　可以说两种：共面与异面，也可以说三种：平行、相交和异面. [问题2]　什么样的两条直线是异面直线？ [提示]　空间中既不平行也不相交的两条直线. ◎结论形成 1.定义：不同时在任何一个平面内的两条直线. 2.画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.如下图所示： 3.判定：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. ◇导学3　空间四边形 1.概念：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线. 2.表示：用表示顶点的4个字母表示. [基础自测] 1.空间两条互相平行的直线指的是 A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 解析　由平行直线的定义知只有D正确. 答案　D 2.下列命题中，正确的结论有 ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等. ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 解析　②④正确. 答案　B 3.若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为 A.130° B.50° C.130°或50° D.不能确定 解析　根据等角定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补.即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°. 答案　C 4.(多选题)下面关于异面直线的描述不正确的为 A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 解析　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面.所以A应排除.对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除.对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除.只有D符合定义. 答案　ABC 题型一　空间平行线的传递性的应用 [例1]　如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形. [自主解答]　证明　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1， ∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1， ∴EQ綊B1C1， ∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q. 又∵Q，F分别是矩形DD1C1C的两边DD1和CC1的中点， ∴QD綊C1F， ∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF. 又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF， ∴四边形B1EDF为平行四边形. [规律方法] 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法. 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法. 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点. (3)平行线的传递性. [触类旁通] 1.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH的形状为________. 解析　如图，在△ABD中， 因为＝＝， 所以EH∥BD且EH＝BD. 在△BCD中， 因为＝＝， 所以FG∥BD且FG＝B