11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 学业标准 学科素养 1.熟记柱、锥、台和球的体积计算公式. 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积. (重点、难点) 1.通过几何体体积公式的推导，培养逻辑推理核心素养； 2.通过对几何体体积及相关量的计算，培养直观想象和数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学1　祖暅原理 [问题]　取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？ [提示]　体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. ◎结论形成 祖暅原理的含义及应用 (1)内容：幂势既同，则积不容异. (2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. (3)应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. ◇导学2　柱、锥、台、球的体积公式 [问题1]　初中学过的正方体、长方体的体积公式是什么？ [提示]　正方体的体积V＝a3(a为正方体的棱长)，长方体的体积V＝adc.(a，b，c分别为长方体的长、宽和高) [问题2]　等底等高的棱锥的体积相等吗？ [提示]　根据祖暅原理可知，等底等高的棱锥的体积相等. [问题3]　圆柱的体积怎么求？ [提示]　圆柱的体积等于底面积乘以高. ◎结论形成 柱、锥、台、球的体积公式 (其中S1、S2(S)表示上下底的面积，“h”表示高，R表示球的半径) 名称 体积(V) 柱体 V＝Sh 锥体 V＝Sh 台体 V＝h(S2＋ ＋S1) 球 V＝πR3 [基础自测] 1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm, 则长方体的体积为 A.27 cm3　　 B.60 cm3　　 C.64 cm3　　 D.125 cm3 解析　长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60(cm3).[来源:学科网ZXXK] 答案　B 2.半径为3的球的体积是 A.9π B.81π C.27π D.36π 解析　V＝π×33＝36π. 答案　D 3.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为3，则这个圆台的体积为 A.6π B.7π C.8π D.9π 解析　由已知得S上＝π·12＝π，S下＝π·22＝4π， 所以V台体＝(S上＋S下＋)h＝(π＋4π＋2π)·3＝7π. 答案　B 4.(多选题)一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边所在的直线旋转得到的几何体的体积为 A. B. C. D.π 解析　由题意可知V1＝π×22×1＝， V2＝π×12×2＝. 答案　AB 题型一　柱体、锥体、台体的体积 [例1]　已知圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，求这个圆锥的体积. [自主解答]　由题意可知，圆锥的轴截面为等腰三角形，其腰长为5 cm，底边上的高为4 cm，所以底边上的一半，即圆锥的底面半径r＝＝3 cm， 则圆锥的体积V＝πr2h＝π×32×4＝12π cm3. [规律方法] 此类问题很基础，根据已知条件确定公式中所含字母的值，代入公式即可得解.注意利用方程(组)的思想求解相关几何量. [触类旁通] 1.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r， 如图. 因为母线长为10， 所以有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2. 所以下底面半径R＝8，高h＝8， 所以V圆台＝(S2＋＋S1)h ＝π(r2＋rR＋R2)h ＝π(4＋2×8＋82)×8＝224π. 答案　224π 题型二　球的体积 [例2]　如果三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积之和的 A.4倍　　　 B.3倍　　　 C.2倍　　　 D.1倍 [自主解答]　依题意，半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x， 则最大球的半径为3x，体积为π·(3x)3＝36πx3， 其余两个球的体积之和为πx3＋π·(2x)3＝12πx3， 所以最大的球的体积与其余两个球的体积之和的比值为＝3. [答案]　B [方法归纳] 球的表面积是关于半径的平方的函数，而体积则是关于半径立方的函数. [触类旁通] 2.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 解析　设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3