11.1.5 旋转体-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.1.5　旋转体 学业标准 学科素养 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点) 3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体.(难点) 4.会求球的表面积. 1.通过将现实生活中的实物抽象成旋转体，培养数学抽象核心素养. 2.通过圆柱、圆锥、圆台及球的相关计算，培养数学运算及直观想象核心素养. [教材梳理] ◇导学1　圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征 [问题1]　上图中的几何体是多面体吗？ [提示]　不是. [问题2]　以直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转360°而形成的曲面所围成的几何体是圆锥吗？ [提示]　不是，绕斜边旋转所得的是两个圆锥. [问题3]　能否由圆锥得到圆台？ [提示]　用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到. ◎结论形成 圆柱、圆锥、圆台的概念与结构特征 名称 类别　 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. 以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆台. 图形及 表示 图中的圆柱记作圆柱OO′. 图中的圆锥记作圆锥SO. 图中的圆台记作圆台O′O.[来源:学科网ZXXK] 侧面展 开图 结构特征 两个底面互相平行， 有无数条母线，且长度相等，都与轴平行， 轴截面是全等的矩形. 底面是圆面， 有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆， 轴截面是全等的等腰三角形. 上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点， 平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆， 轴截面是全等的等腰梯形. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. ◇导学2　球的概念及几何特征 [问题1]　球可以看作半圆绕它的直径旋转一周而形成的吗？ [提示]　可以. [问题2]　球与现实生活中的篮球类似还是和铅球类似？ [提示]　铅球. [问题3]　球与球面是相同的概念吗？ [提示]　球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的几何体，而球面只指球的表面部分. ◎结论形成 球的概念与结构特征 球及相关概念 图形及表示 定义 球面围成的几何体称为球. 图中的球记作：球O.　　　　[来源:Z*xx*k.Com] 相关 概念 (1)球面 定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面. 定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. (2)球心：形成球面的半圆的圆心； (3)半径：连接球面上一点和球心的线段. (4)直径：连接球面上两点并且通过球心的线段. (5)大圆：球面被经过球心的平面截得的圆. (6)小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆. 表面积 S＝4πR2.(R为球的半径) [基础自测] 1.下列几何体中不是旋转体的是 解析　由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体. 答案　D 2.(多选题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体可能是 A.圆锥　　　 B.圆柱　　　 C.球　　　　 D.棱柱 解析　棱柱的任何截面都不可能是圆面. 答案　ABC 3.如图所示立体图形是由哪个平面图形旋转得到的 解析　组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确. 答案　D 4.给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是________. 解析　①正确，圆柱的底面是圆面； ②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； ③不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体. 答案　①② 题型一　旋转体的结构特征 [例1]　(多选题)下列四种说法中，正确的是 A.在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C.在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.圆柱的任意两条母线相互平行 [自主解答]　A所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.C所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义.B、D符合圆锥、圆柱母线的定义及性质. [答案]　BD [规律方法] 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，关于它们的结构特征，要正确把握它们概念的本质，多考虑几种可能的情形.