11.1.4 棱锥与棱台-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.1.4　棱锥与棱台 学业标准 学科素养 1.理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点) 2.能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系.(难点) 1.通过将现实生活中的实物抽象为棱锥和棱台，培养数学抽象和直观想象核心素养； 2.通过棱锥和棱台中的数量关系的计算，主要培养数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学1　棱锥的概念与几何特征 [问题1]　上图中的几何体是什么几何体？ [提示]　棱锥. [问题2]　上图中的几何体有什么共同的结构特征？ [提示]　底面是多边形，侧面都是三角形，且有一个公共顶点. ◎结论形成 棱锥的概念与几何特征 定义 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥. 图形及表示 [来源:学科网ZXXK] 可记作：棱锥P ­ABCD或棱锥P ­AC. 相关 概念 棱锥的底面 是多边形的那个面. 棱锥的侧面 有公共顶点的各三角形. 棱锥的顶点 各侧面的公共顶点. 侧棱 相邻两侧面的公共边. 棱锥的高 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段.(或它的长度) 棱锥的侧面积 棱锥所有侧面的面积之和. 分类 按底面的形状可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥 定义 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥. 斜高 侧面等腰三角形底边上的高. 特征 侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等. ◇导学2　棱台的概念及结构特征 [问题1]　上图中的几何体是什么几何体？ [提示]　棱台. [问题2]　棱台与棱锥有什么关系？ [提示]　棱台可以由棱锥截得. ◎结论形成 棱台的定义及机构特征 定义 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台. 图形及表示 可记作：棱台ABCD­A1B1C1D1. 相关 概念 棱台的底面 下底面：原棱锥的底面. 上底面：原棱锥的截面. 棱台的侧面 除上、下底面外的其余面. 侧棱 相邻两侧面的公共边. 棱台的高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段.(或它的长度) 棱台的侧面积 棱台所有侧面的面积之和. 分类 按底面的形状可以分为三棱台、四棱台、五棱台…… 正棱台 定义 由正棱锥截得的棱台. 高 上下两底面中心的连线. 斜高 侧面等腰梯形的高. 特征 侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等. [基础自测] 1.下面四个几何体中，是棱台的是 解析　A项中的几何体是棱柱；B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台. 答案　C 2.(多选题)如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是 A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的 B.该几何体有12条棱、6个顶点 C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析　面ABCD不是几何体的面，该几何体有8个面. 答案　ABC 3.下列命题中正确的是________. ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥； ②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形，并且顶点在底面上的投影是底面中心的棱锥是正棱锥. 解析　①不能保证顶点在底面上的投影为底面正多边形的中心， ②不能保证底面为正多边形， ③不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故①②③都不正确.只有④正确. 答案　④ 4.下列说法正确的有________.(填序号) ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 解析　棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对.因而正确的有①③. 答案　①③ 题型一　棱锥、棱台的结构特征 [例1]　下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台. ②棱台的侧面一定不会是平行四边形. ③棱锥的侧面只能是三角形. ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥. ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________. [自主解答]　①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底