11.1.3 多面体与棱柱-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§11.1.3　多面体与棱柱 学业标准 学科素养 1.了解多面体的定义及其分类. 2.理解棱柱的定义和结构特征.(重点) 3.能在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系.(难点) 1.通过将现实生活中的实物抽象为棱柱，培养数学抽象和直观想象核心素养； 2.通过棱柱中的数量关系的计算，主要培养数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学1　多面体 [问题1]　上面图中几个图形是多面体吗？ [提示]　是. [问题2]　上面图中的几个图形的面有什么特点？ [提示]　每个面都是平面多边形. ◎结论形成 多面体 定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体. 图示及相关概念 (1)面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面. (2)棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱. (3)顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点. (4)面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段. 体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段. (5)截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部). ◇导学2　棱柱 [问题]　观察下列两个棱柱，你认为棱柱应具有怎样的共同特征？ [提示]　有两个面互相平行，且多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形. ◎结论形成 棱柱的概念与几何特征 定义 有个面互相平行，且多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱. 图示及表示 可记作：棱柱ABCDEF ­A′B′C′D′E′F′. 相关概念 底面：两个互相平行的面. 侧面：底面以外的其余各面.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 侧棱：相邻侧面的公共边. 高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度). 侧面积：棱柱所有侧面的面积之和. 分类 (1)按底面多边形的边数分类 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 底面是平行四边形的棱柱.称为平行六面体. (2)按底面与侧棱的关系分类 ①侧棱与底面不垂直的棱柱叫作斜棱柱； ②侧棱与底面垂直的棱柱叫作直棱柱； ③底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱. (3)特例 ①直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体. ②长方体：底面是矩形的直平行六面体. ③正方体：棱长都相等的长方体. [基础自测] 1.下面多面体中，是棱柱的有 A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 解析　根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 答案　D 2.下列命题中，正确的是 A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面[来源:学科网ZXXK] C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 解析　如图所示，面ABC∥面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都相互平行，故不是棱柱，A错；正六棱柱相对侧面相互平行但不是棱柱的底面，B错；长方体是棱柱，底面是平行四边形，C错；D选项说明了棱柱的结构特征，正确. 答案　D 3.(多选题)下列说法正确的是 A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边行 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析　多面体至少应有四个顶点(否则至多三个顶点，而三个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点可围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误. 答案　ABC 4.下列四个命题： ①棱柱的两底面是全等的正多边形. ②有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ③有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ④四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中正确的序号是________. 解析　①棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形. ②，③都不能保证侧棱与底面垂直. ④易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确. 答案　④ 题型一　对多面体的识别与判断 [例1]　如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. [自主解答]　(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行.符合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M­CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1­DCND1. [规律方法] 正确判断几何体类型的方法 要正