10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§10.2.2　复数的乘法与除法 学业标准 学科素养[来源:学科网] 1.理解复数的乘、除运算法则，会进行复数的乘除运算.(重点) 2.掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算.(难点) 3.会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 1. 通过学习复数的乘法和除法，培养数学运算核心素养. 2. 通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养数学抽象核心素养. [教材梳理] ◇导学1　复数的乘法运算 [问题1]　两实数可以相乘，两复数可以相乘吗？ [提示]　可以. [问题2]　复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？ [提示]　类似. [问题3]　复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？ [提示]　满足. ◎结论形成 1.复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，规定z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 2.复数乘法的运算律 (1)对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (2)对复数z，z1，z2和正整数m，n有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz. (3)i为虚数单位，则i2＝－1，i3＝－i，i4＝1. ◇导学2　复数的除法运算 [问题1]　如果实数a，b满足(a＋bi)(1＋i)＝1，如何求a，b? [提示]　方法一是展开，利用复数相等求a，b，方法二是化为a＋bi＝，将等号右边分母化成实数，利用复数相等求解. [问题2]　如何将的分母化成实数？ [提示]　分子分母同时乘以分母的共轭复数. ◎结论形成 1.复数的倒数：一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数.求复数的倒数的方法称为分母实数化. 2.复数相除：如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数. ◇导学3　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 [问题1]　如果x2＝－4，则x＝？ [提示]　±2i. [问题2]　如果x2＝－a(a>0)，则x＝？ [提示]　±i. ◎结论形成 1.根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程， (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2.根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么x1＋x2＝－，x1x2＝. [基础自测] 1.已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝ A.－3＋i　　　　　　　　 B.－1＋3i C.－3＋3i D.－1＋i 解析　(－1＋i)(2－i)＝(－2＋1)＋(2＋1)i＝－1＋3i. 答案　B 2.(2019·北京卷)已知复数z＝2＋i，则z·＝ A. B. C.3 D.5 解析　解法一　∵z＝2＋i， ∴＝2－i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 解法二　∴z＝2＋i，∴z·＝|z|2＝5.故选D. 答案　D 3.设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝ A.－1＋i B.－1－i C.1＋i D.1－i 解析　z＝＝＝－1＋i. 答案　A 4.(2020·全国Ⅲ卷)若(1＋i)＝1－i，则z＝ A.1－i B.1＋i C.－i D.i 解析　因为＝＝＝＝－i， 所以z＝i，故选D. 答案　D 题型一　复数的乘法运算 [例1]　计算：(1)(3＋2i)(1－i)；(2)(1＋2i)2. [自主解答]　(1)(3＋2i)(1－i)＝(3＋2)＋(－3＋2)i＝5－i； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i. [规律方法] (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简. (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等. [触类旁通] 1.计算：(1)(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝ A.－4　 　　 B.4　 　　 C.－4i　 　　 D.4i (2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (3)(1＋i)2. 解析　(1)(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(1－2i＋i2)2 ＝(－2i) 2＝－4. (2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i； (3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 答案　(1)A