10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§10.2　复数的运算 §10.2.1　复数的加法与减法 学业标准 学科素养 1.掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算. 2.理解复数加减法运算的几何意义，并能应用其解决相关的问题.(重点、难点) 1.通过复数的加法与减法的学习，提升数学运算核心素养. 2. 通过复数加法和减法运算几何意义的学习，培养直观想象、数学抽象核心素养. [教材梳理] ◇导学1　复数的加法与减法运算 [问题1]　多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ [提示]　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. [问题2]　复数的加法满足交换律和结合律吗？ [提示]　满足. [问题3]　利用问题1的结果试说明复数加法满足交换律. [提示]　z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1. ◎结论形成 复数的加法与减法 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)加法运算律： 设z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). ◇导学2　复数加减法的几何意义 [问题1]　如图1，2分别与复数a＋bi，c＋di对应. 试写出1，2及1＋2，1－2的坐标. [提示]　1＝(a，b)，2＝(c，d)，1＋2＝(a＋c，b＋d)，1－2＝(a－c，b－d). [问题2]　向量1＋2，1－2对应的复数分别是什么？ [提示]　向量1＋2对应的复数是(a＋c)＋(b＋d)i，也就是z1＋z2，向量1－2对应的复数是(a－c)＋(b－d)i，也就是z1－z2. ◎结论形成 复数加法、减法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量分别为1，2，且1与2不共线 复数加法的几何意义 (1)意义：复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数； (2)结论：||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. 复数减法的几何意义 (1)意义：复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数； (2)结论：||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|. [基础自测] 1.若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为 A.1　　　　 B.2　　　　 C.－2　　　　 D.－1 解析　依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1. 答案　A 2.已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝ A.3 B.4 C.2 D.1 解析　∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4， 由复数相等的充要条件知解得∴a＋b＝3. 答案　A 3.设a，b∈R，(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0，那么复数a＋bi的模为 A.0 B.6 C.3 D.2 解析　因为(5＋bi)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0， 所以(5＋b－2)＋(b－3－a)i＝0， ∵a，b∈R， ∴解得 ∴a＋bi＝－6－3i. ∴|a＋bi|＝|－6－3i| ＝ ＝3. 答案　C 4.(多选题)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i(a∈Z)，若|z1－z2|<|z1|，则实数a的值可以为 A.2 B.3 C.4 D.5 解析　由条件知z1－z2＝(4－a)＋2i. 又因为|z1－z2|<|z1|，即<. 解得1<a<7. 答案　ABCD 题型一　复数的加法、减法运算 [例1]　计算： (1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R). [自主解答]　(1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i] ＝[－－(－)]＋[－(＋)]i ＝－－i. (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝[(a＋b)－(a－b)]＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. [规律方法] 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行. [触类旁通] 1.计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i). 解析　(1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i) ＝(3－7i)－(3＋4i) ＝(3－3)＋(－7－4)i ＝－11i. (2)原式＝(