10.1.2 复数的几何意义-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§10.1.2　复数的几何意义 学业标准 学科素养 1.理解复平面、实轴、虚轴等概念. 2.掌握复数的几何意义，并能适当应用.(重点、难点) 3.掌握复数模的定义及求模公式.(重点) 1.通过学习复数的几何意义，培养直观想象核心素养. 2.借助于复数的模和共轭复数的计算，培养数学运算核心素养. [教材梳理] ◇导学1　复平面 [问题1]　实数与数轴上的点有什么对应关系？ [提示]　一一对应. [问题2]　有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应.[来源:学科网] [问题3]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应.[来源:学#科#网] [问题4]　复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ [提示]　能一一对应. ◎结论形成 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内，x轴称为实轴，y轴称为虚轴. ◇导学2　复数的几何意义 [问题1]　平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应. [问题2]　复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ [提示]　能一一对应. ◎结论形成 复数的几何意义 复数z＝a＋bi向量＝(a，b)点Z(a，b). ◇导学3　共轭复数与复数的模 [问题1]　向量＝(a，b)的模如何计算？ [提示]　||＝. [问题2]　设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为z1，则点z1关于实轴的对称点z2所对应的复数是什么？ [提示]　a－bi. ◎结论形成 1.共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，有＝a－bi，任一实数的共轭复数仍是它本身. 2.复数的模 (1)定义 向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋bi|＝. (2)共轭复数的模 两个共轭复数的模相等，即|z|＝||. [基础自测] 1.在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为 A.(1，i)　　　　　　 B.(1，－i) C.(1，1) D.(1，－1) 解析　复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1， 故其对应的坐标为(1，－1). 答案　D 2.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限.则实数m的取值范围是 A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，3) 解析　由已知可得⇒⇒－3<m<1. 故选A. 答案　A 3.已知复数z＝3＋2i，则＝________；|z|＝________. 解析　∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝. 答案　3－2i　[来源:Z。xx。k.Com] 4.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则|z|＝________. 解析　由图可知对应的复数z＝2－i， 故|z|＝＝. 答案　 题型一　复数与点的对应 [例1]　当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限的角平分线上. [自主解答]　∵k∈R，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是实数， ∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6). (1)由题意得解得k＝6. ∴k＝6时，复数z对应的点在x轴的正半轴上. (2)由题意得解得k＝4. ∴k＝4时，复数z对应的点位于y轴的负半轴上. (3)由题意得解得k＝5. ∴k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的角平分线上. [规律方法] 求解此类问题，应根据点的位置，确定复数的实部和虚部满足的条件，然后列方程(组)或不等式(组)求解. [触类旁通] 1.求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方. 解析　(1)点Z在复平面的第二象限内， 则解得a<－3. (2)点Z在x轴上方， 则即(a＋3)(a－5)>0， 解得a>5或a<－3. 题型二　复数与向量的对应 [例2]　在复平面内，复数6＋5i与－3＋4i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，所对应的复数. [自主解答]　由已知条件可知向量的坐标为(6，5)，向量的坐标为(－3，4)， 所以向量＝－＝(－3，4)－(6，5)＝(－9，－1)， 即向量的坐标为(－9，－1)， 所以向量对应的复数为－9－i. 因为向量＝－＝－(－9，－1)＝(9，1). 所以向量的坐标为(9，1)， 因此向量对应的复数为9＋i. [方法归纳] (1)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为