10.1.1 复数的概念-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§10.1　复数及其几何意义 §10.1.1　复数的概念 学业标准 学科素养 1.了解数集的扩充过程和引进复数的必要性. 2.理解复数及其相关概念，明确复数的分类.(重点) 3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题.(难点) 1.通过复数概念的学习，提升数学抽象核心素养. 2.通过复数相等及应用的学习，培养逻辑推理等核心素养. [教材梳理] ◇导学1　复数的概念及代数表示 [问题1]　方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示]　没有. [问题2]　若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？ [提示]　有解(x＝±i)，但不在实数范围内. [问题3]　设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？ [提示]　a＋bi(a，b∈R)的形式. ◎结论形成 1.虚数单位：为了使得方程x2＝－1有解，规定i的平方等于－1，即i2＝－1，称i为虚数单位. 2.复数：当a，b都是实数时，称a＋bi为复数. 3.复数的表示 复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部. ◇导学2　复数的分类与复数相等 [问题1]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？ [提示]　b＝0时，z＝a为实数. [问题2]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？ [提示]　当a＝0，b≠0时，z＝bi，这样的数我们称为纯虚数. [问题3]　3＋2i＞3＋i正确吗？ [提示]　不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小. ◎结论形成 1.复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 2.复数相等的充要条件 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c，且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0，且b＝0. [基础自测] 1.对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是 A.a＝0⇒a＋bi为纯虚数 B.b＝0⇒a＋bi为实数 C.a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝－3 D.－1的平方等于i 解析　当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错误；当b＝0时，a＋bi为实数，故B正确；a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝3，故C错误；(－1)2＝1，故D错误. 答案　B 2.(2020·浙江)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝ A.1　　　　 B.－1　　　　 C.2　　　　 D.－2 解析　因为a－1＋(a－2)i是实数， 所以a－2＝0，所以a＝2.故选C. 答案　C 3.已知(x＋y－3)＋(y－4)i＝0，其中x，y∈R，i是虚数单位，则x＝ A.1　　　　 B.－1　　　　 C.7　　　　 D.－7 解析　∵x，y∈R，∴由(x＋y－3)＋(y－4)i＝0，得解得 答案　B 4.已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z<0，则k＝________. 解析　z<0说明z与0可以比较大小，故知z为实数.故虚部k2－5k＋6＝0且实部k2－3k<0， 即∴∴k＝2. 答案　2 题型一　复数的概念 [例1]　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时：[来源:学科网ZXXK] (1)z∈R? (2)z是虚数？ (3)z是纯虚数？ [自主解答]　(1)m2＋2m－1＝0且m－1≠0， 即m＝－1±时，z为实数； (2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0. 即m≠－1±且m≠1时，z为虚数；[来源:Zxxk.Com] (3)当＝0且m2＋2m－1≠0， 即m＝0或－2时，z为纯虚数. [规律方法] 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，同时求解参数时，应注意参数本身的取值范围，如分母不能为0. [触类旁通] 1.当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 解析　(1)当即m＝2时，复数z是实数； (2)当m2－2m≠0，且m≠0， 即m≠0且m≠2时，复数z是虚数； (3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数. 题型二　复数相等的判别及应用 [例2]　已知关于x的方程x2＋x＋3m－(2x＋1)i＝0有实数根，求实数m的值及该实根. [自主解答]　设方程的实根为t， 则t2＋t＋3m－(2t＋1)i＝0； 由复数相等，得解得 所以实数m＝，方程的实根为－. [规律方法] 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.[来源:Z*xx*k.Com] (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同