9.2 正弦定理与余弦定理的应用-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册新课标辅导【精讲精练】人教B版（word）

§9.2　正弦定理与余弦定理的应用 学业标准 学科素养 1.了解实际问题中所涉及的名词和一些常用术语. 2.会建立解决实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题.(重点、难点) 通过建立解决实际应用题的三角形模型解决问题，培养数学建模和数学运算的核心素养. [教材梳理] ◇导学1　距离问题 [问题1]　两个不可到达的点之间的距离可以求得吗？ [提示]　可以. [问题2]　如何求两个不可到达的点之间的距离？ [提示]　两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得. [问题3]　如图所示，如果测得数据a，b，γ，可以测量隧道AB的长度吗？ [提示]　可以，可以由余弦定理求得AB. ◎结论形成 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作基线. 2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高. ◇导学2　高度、角度问题 [问题1]　如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点.通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？ [提示]　能够测量出的分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高h. [问题2]　你能说出求AE长的一个解题思路吗？ [提示]　在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长. [问题3]　你能写出求解AE长的解题过程吗？ [提示]　选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.由在H，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β，α，CD＝a，测角仪器的高是h. 那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝， AB＝AE＋h＝ACsin α＋h＝＋h. ◎结论形成 1.高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度.常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. 2.常用术语 (1)仰角和俯角 ①前提：在视线所在的垂直平面内. ②仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角. ③俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角. (2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角. 如图所示，目标B的方向角为北偏东30°，目标A的方向角为南偏东45°. [基础自测] 1.已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距 A.10 km　　　　　　　　　 B.10 km[来源:学,科,网] C.10 km D.10 km 解析　AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，所以AC＝10 km. 答案　D 2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析　如图，由题意，知AC＝BC， ∠ACB＝80°，所以∠BAC＝∠CBA＝50°， 因为α＋∠CBA＝60°，所以α＝10° ， 即灯塔A在灯塔B的北偏西10°. 答案　B 3.(多选题)某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为 A.　　　　 B.2　　　　 C.2　　　　 D.3 解析　如图， 在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30°， 即x2－3x＋6＝0， 解之得x＝2或. 答案　AB 4.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 解析　设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，炮台顶部为D点.在△ABC中，由题意可知AC＝＝30(m)，BC＝＝30 (m)，∠ACB＝30°，所以AB2＝(30)2＋302－2×30×30·cos 30°＝900，即AB＝30 (m). 答案　30 题型一　距离问题 [例1]　一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货轮的速度为30n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离. [自主解答]　如图所示， 在△ABC中，∠CAB＝45°， ∠ABC＝90°＋30°＝120°， 所以∠ACB＝180°－45°－120° ＝15°， AB＝30×0.5＝15(n mile)， 则由正弦定理，得＝， 即＝，