专题14 函数与导数综合解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题14 函数与导数综合解答题 1．（2021·福建南平市高三二模）已知函数 ， ，其中 ． （1）讨论函数 的单调性，并求不等式 的解集； （2）若 ，证明：当 时， ； （3）用 表示 ， 中的最大值，设函数 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 在 上是增函数， ；（2）证明见解析；（3） ． 【分析】（1）利用导数讨论 的单调性，由 ，得到不等式 的解集； （2）利用导数讨论 的单调性，求出最小值，即可证明； （3）先判断当 时，由 恒成立得到 恒成立； 再研究当 时， ，只需 在 上恒成立即可． 利用分离参数法得到 ，利用导数研究 ， 的极大值，求出a的范围. 【解析】（1） ， 当 时， ， ，∴ ， 当 时， ， ，∴ ， 当 时， ， 所以当 时， ，即 在 上是增函数； 又 ，所以 的解集为 ． （2） ． 由 ，得 ， ， 则 ，即 在 上为增函数． 故 ，即 ． （3）由（1）知， 当 时， 恒成立，故 恒成立； 当 时， ，因为 ，要使得 恒成立， 只要 在 上恒成立即可． 由 ，得 ． 设函数 ， ， 则 ． 令 ，得 ． 随着 变化， 与 的变化情况如下表所示： + 0 - 极大值 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 在 上唯一的一个极大值，即极大值 ，故 综上所述，所求实数 的取值范围为 ． 2．（2021·福建龙岩市高三三模）已知函数 （1）证明： 在区间 存在唯一极小值点； （2）证明： . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1） ，然后分别证明当 时， ，当 时， ，即可得 在区间 存在唯一极小值点 ； （2）首先证明 ，然后即证 ，然后利用导数证明 的最大值为0即可. 【解析】（1）证明： ， 当 ，则 ， ， ，又因为 ， 所以 ，所以 在 单调递增. 当 ， ， 令 ， ， 又因为 ，所以 在 单调递减， 所以 ，所以 ，即 ，又因为 ， 所以 ，所以 在 单调递减. 又因为 ，所以 在区间 存在唯一极小值点 （2）因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ①， 令 ，则 ，所以 在 递减， 所以 ，即当 . 要证①，只需证 令 ， ， 令 ，所以 ， 所以 在 单调递减， 又因为 ， ， 所以 ，使 ，即 ， ， 所以当 ， ， 单调递增， 当 ， ， 单调递减， 所以 ， 所以原不等式得证 3．（2021·福建莆田市高三三模）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时， ，求m的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【分析】（1）求导 ，分 ， ， 讨论求解； （2）由 时， 成立，根据（1） 时，由 在 递减；只需 ， 时，分 ， ， 讨论求解. 【解析】（1）函数 ， 求导得： ， 当 时， ，所以 在 上递减； 当 时， ，令 ， 则方程 有两个不同的根，. ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增； 当 时， 在 上递减， 在 上递减， 所以 在 递减； （2）因为 时， 成立， 所以 时， 成立， 由（1）知 时， 在 递减； 只需 ，解得 ，此时 ； 时，当 时， 取得极小值， 当 时， 在 上递增，只需 ， 解得 ，此时 ； 当 时，只需 ，即 ，因为 ，此时 ， 当 时， 在 上递减， 只需 ，解得 ，此时 ； 综上：m的取值范围是 . 4．（2021·福建高三三模）已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时， ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） . 【分析】（1）先求出函数的导数，然后分 和 讨论导函数的正负，从而可得函数的单调区间； （2）令 ，当 时， ，由 再结合（1）可得当 时， ，从而令 ，则 ，所以 在 单调递增，进而可得结论 【解析】（1）由 ，得 . （i）当 时，对任意 ，都有 ， 此时 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； （ii）当 时，令 ，解得 ， 且当 时， ；当 时， . 此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间 . （2）令 ，则 . ①当 时， . 令 ，则 . 所以当 时， ，即 . 由（1）得，当 时， 在 单调递减，在 单调递增. 所以当 时， ，即 ， 令 ， 则 ，所以 在 单调递增， 所以当 时， . 所以，当 时， ，即 . ②当 时，因为 ， 所以存在 ，使得当 ， ， 则 在 单调递减. 所以 ，即 ，与条件矛盾. 综合①，②， 的取值范围是 . 5．（2021·福建高三二模）已知函数 . （1）求 的单调区间； （2）若 ，且 有两个不同的零点 ，证明： 有唯一零点(记为 )，且 .