专题13 解析几何解答题 -2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题13 解析几何解答题 1．（2021·山东高三二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，圆 是 的内切圆．当直线 的倾斜角为 时，直线 与椭圆 交于点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）求圆 周长的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）设直线方程，已知点既满足直线方程也满足椭圆方程，解得基本量即可. （2）利用三角形内切圆半径与三角形周长关系，建立内切圆半径 与直线斜率 函数关系，再求函数的最值，进而求圆 周长最值. 【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，则 ， 当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 ， 又直线 与椭圆 交于点 ， ， 将点 代入椭圆方程得： 解得 或 （舍）， 椭圆 的方程为 （2）设圆 的半径为 ， 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 当直线 的斜率存在时，设为 ，直线 的方程为 ， 设 ， 由 得 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 又 综上， 当 时，圆 的周长取得最大值 ． 2．（2021·山东淄博市高三二模）已知抛物线 的标准方程是 ，过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且满足 ． （1）求抛物线 的标准方程及准线方程； （2）设垂直于 的直线 和抛物线 有两个不同的公共点 ， ，当 ， 均在以 为直径的圆上时，求直线 的斜率． 【答案】（1）抛物线方程为 ；准线方程为 ；（2） 或 ． 【分析】（1）将直线 与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，利用 可构造方程求得 ，由此可得抛物线方程和准线方程； （2）设 ， ，利用 可知 ，得到 ；由 在以 为直径的圆上可得 ， ，由向量的坐标运算可整理得到 ，由此构造方程求得 . 【解析】（1）由题意可知，直线 的斜率存在，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ， 由 消元得： ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， 点 ， 在抛物线 上， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得： ， 抛物线 的标准方程为 ，准线方程为 ． （2）由（1）得：抛物线 的方程为 ， 若 ，则直线 与抛物线仅有一个交点，不合题意， ， 设 ， ， ，则 ， 在以 为直径的圆上， ， ， 即 ， ， ，整理得： ， 由（1）知： ， ， ， 两式作差得： ， 又 ， ，解得： . 直线 的斜率为 或 . 3．（2021·山东高三二模）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为 上的动点，其中 到 的最短距离为1，且当 的面积最大时， 恰好为等边三角形. （1）求椭圆 的标准方程； （2）斜率为 的动直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，那么， 是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 【答案】（1） ；（2） 为定值，证明见解析 【分析】（1）当点 在椭圆的左顶点时， 到 的距离最短，可得 ，当点 在椭圆的上顶点（或下顶点）时， 的面积最大，此时 为等边三角形，可得 ，从而可求出 ，即可求出椭圆 的标准方程； （2）易知直线 的斜率存在，设其方程为 ，联立 ，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，可求得 的中点的坐标，从而可得到线段 的垂直平分线的方程，令 ，可求出点 的坐标，从而可得到 的表达式，然后根据弦长公式 ，可求出 的表达式，从而可求得 为定值，经验证当 时， 为相同的定值. 【解析】（1）由题意，当点 在椭圆的左顶点时， 到 的距离最短，则 ， 当点 在椭圆的上顶点（或下顶点）时， 的面积最大，此时 为等边三角形，则 ， 联立 ，解得 ， 故椭圆 的方程为 . （2） 为定值. 证明：由题意可知，动直线 的斜率存在，设其方程为 ， 联立 ，得 . 设 ， ，则 ， ， 设 的中点为 ，则 ， . 当 时，线段 的垂直平分线的方程为 ， 令 ，得 ，即 ， 所以 . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 所以 . 当 时， 的方程为 ， 此时， ， ， . 综上， 为定值. 4．（2021·辽宁高三一模）已知椭圆 的焦距为 ，经过点 ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 ，直线 分别交椭圆于A，B． ，Q为垂足．是否存在定点R，使得 为定值，说明理由． 【答案】（1） ；（2）存在；答案见解析． 【分析】（1）利用 ，椭圆经过点