专题12 立体几何解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题12 立体几何解答题 1．（2021·湖南高三二模）如图四棱锥 ，若在侧面 上存在一条直线段 与 平行． （1）证明：底面 为矩形； （2）若 与平面 所成角都为 ，点E为 的三等分点（靠近点C）， ，求二面角 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）由 可得 面 ，然后由线面平行的性质得到 即可； （2）设P在底面的投影为O， 平面 ，根据题意可得矩形对角线的交点即为O，然后建立空间直角坐标系，算出两个平面的法向量坐标即可. 【解析】（1）依题 面 ， 面 ，故 面 面 面 ，由线面平行性质及平行传递性得： 又 ，故底面 为平行四边形 又 ，底面 为矩形 （2）设P在底面的投影为O， 平面 依题： ，易知O为矩形 的外心， 由对称性可知，矩形对角线的交点即为O，如图建系， 则 由 ，得 ，所以 又 ， 设面 的法向量为 ，取 同理可得面 的法向量为 ， 因为 ，故所求二面角 的大小为 ． 2．（2021·河北高三二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形， ， . （1）证明： ； （2）若异面直线PB与CD所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】（1）设AD的中点为O，利用等边三角形的性质、菱形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据异面直线所成角的定义，结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【解析】（1）证明：如图，设AD的中点为O，连接OP，OB，BD. 由 ， ， ，可知 ， 为等边三角形， 又点O为AD的中点，所以 ， . 又 ，故 平面POB. 又 平面POB， 所以 . （2）解：不妨设 ，则 . 由 ，得 ，又 ， ， 解得 ， 在 中， ，所以 . 由（1）可知 ， ，故PO，OB，AD两两垂直. 以O为坐标原点，分別以OA，OB，OP所在直线为x轴､y轴､z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， ， . 设 为平面APB的法向量， 则 ，即 可取 . 设 为平面PBC的法向量， 则 ，即 可取 . . 由题意，可知二面角 的平面角为钝角， 二面角 的余弦值为 . 3．（2021·广东高三二模）如图，四棱锥 中，底面 是边长为3的菱形， . 面 ，且 . 在棱 上，且 ， 为棱 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，连接 交 于 ，连接 ，通过证明面 面 来得到所需结论； （2）取 中点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，分别得到面 和 的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得结果. 【解析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，连接 交 于 ，连接 . ∵ 、 分别为 、 的中点 ∴ ，又 面 ， 面 ，∴ 面 ， 又 ，故 为 的中点， ∴ ，又 面 ， 面 ，∴ 面 ， ， 面 ， ∴面 面 ， 又 面 ，∴ 面 . （2）取 中点 ，连接 ，∵ 是 的菱形， ∴ ，又 面 ， ∴分别以 、 、 为 、 、 轴正方向建立空间直角坐标系 如图所示. 则 、 、 、 、 . ∴ 、 . 设面 的一个法向量 ， 则由 可得 ， 不妨令 ，则解得 ， ， ∴ . 显然面 的一个法向量 ， ∴ ， ∴二面角 的余弦值为 . 4．（2021·山东高三二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ， ， ， 为 上一点，且 ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）用勾股定理证明 ，结合 ，即可证明 平面 ，从而证到平面 平面 ； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求解即可． 【解析】（1）证明：在 中， ， 又 ， ， ， 平面 平面 又 平面 平面 平面 （2）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 令 ，解得 设平面 的一个法向量为 ，则 令 ，解得 二面角 的余弦值为 ． 5．（2021·辽宁高三二模）如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为4的等边三角形，且平面 平面 ，点 为线段 中点，点 为 上的动点. （1）若平面 平面 ，求线段 的长； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）1；（2） . 【分析】（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性质求得 平面 ，进而解得长度. （2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角. 【解析】解（1）(法一)取 中点 ，连接 ， . ∵ 与 都是正三角形， ∴ ， 又已知