专题11 数列解答题-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题11 数列解答题 1．（2021·江苏镇江市高三模拟）已知数列 满足 . （1）试写出一个满足上述条件的等差数列或等比数列的通项公式 ； （2）根据第（1）问中你所写出的 ，设 ，求 的前100项和 . 【答案】（1）答案见解析；（2） . 【分析】（1）假设数列为等比或等差数列，结合已知分析可写出数列的通项公式； （2）利用（1）问的结论，进一步运用裂项相消求和法求出数列的和. 【解析】（1）如果 是等比数列，则 常数， 则 ，显然满足此式的 为等差数列，故 不可能是等比数列； 如果 是等差数列，设其公差为 ，在 中 令 ，得 ，即 ，所以 ，① 令 ，得 ，即 ，所以 ，② 联立①、②得： ， 所以 （2） . 2．（2021·江苏高三二模）已知数列 ，其前 项和为 ，且满足 ， ． （1）求 ； （2）求满足 的最小整数 ． 【答案】（1） ；（2）最小整数 . 【分析】（1）由 可得 ，结合已知求 通项(注意判断 是否可以合并)，进而求 . （2）由题设有 有 成立，理解指数函数与幂函数的增长差异，应用枚举的方法写出最小整数 ． 【解析】（1）由题设， ，则 ，即 ， ∴ ，即 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，故 ， ∴ . （2） 有 ， ∴ ，故满足 的最小整数 ． 3．（2021·江苏高三模拟）在① ，② 是公差为1的等差数列，③ ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. 问题：在公差不为0的等差数列 中， 为数列 的前n项和，已知 ，_________. 设 ， 为数列 的前n项和，求使 成立的最小正整数 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】选择条件①：利用公式 可化简得 ，从而得 ，从而求得 通项；选择条件②：先求得 ，再结合公式 求得 通项；选择条件③：由 转化为基本量计算即可得 通项；由 通项求得 ，最后利用裂项相消法求和即可得结果． 【解析】选择条件①：因为 ， 所以 ， 上面两式相减得 ， 所以 （ ）. 在 中，令 ，得 ，所以 ， 从而 ，所以 . 选择条件②：因为 是公差为1的等差数列， ， 于是 . 当 时， . 当 时， ，所以 . 选择条件③：因为 ， 所以 ，整理得 . 因为 ，所以 ， 从而数列 的通项公式为 . 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以使 成立的最小正整数 的值为4． 4．（2021·江苏高三模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足 ，且 ，求数列 的前 项和 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，可得 ， ，解得 ， ．即可得出 ； （2）设数列 满足 ，且 ，可得 ， ，利用裂项求和方法即可得出． 【解析】（1）设数列 的首项为 ，公差为 . 因为 ， ， 所以 解得 所以数列 的通项公式为 . （2）当 时， ， 所以 . 当 时， ，所以 ， 于是 ， 所以 . 5．（2021·江苏高三模拟）已知数列 中， ，其前n项和 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）由 与 的关系得出数列 是等差数列，从而易得其通项公式； （2）用分组求和法求得和 ． 【解析】（1）由题意得 ， 即 ， 又 ，所以 所以数列 是以1为首项，公差为2的等差数列， 所以 ； （2） 所以 ． 6．（2021·山东高三二模）已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为等比数列，满足 ， ， 是 与 的等差中项． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）从数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，设数列 的前 项和为 ，求 ． 【答案】（1） ， ；（2）4302. 【分析】（1）由已知列方程算出基本量即可. （2）在 的前67项中去掉与 相同的7项，可得 前60项. 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ． EMBED Equation.DSMT4 ， ． 是 与 的等差中项， 又 ， ，解得 ． （2） 数列 前 项中与数列 的公共项共用 项，且最大公共项为 ． 又 ， ， . 7．（2021·山东淄博市高三二模）在① ，② ， ， 成等比数列，③ ．这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题． 问题：已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且满足______． （1）求 ； （2）若 ，且 ，求数列 的前 项和 ． 注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分． 【答案】选择见解析；（1） ；（2） ． 【分析】（1）若选①②，将①②用首项 和公差 的形式表示，由此得到