专题08 数列-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题08 数列 1．（2021·福建莆田市高三三模）跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A．16天 B．17天 C．18天 D．19天 【答案】B 【分析】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，然后利用等差数列的前n项和公式求解. 【解析】依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5， 设经过 天后他完成健身计划，则 ， 整理得 . 因为函数 在 为增函数，且 ， ， 所以 . 故选：B 2．（2021·广东高三二模）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁， 生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（ ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】B 【分析】可设年纪最大年龄为 ，年纪最小年龄为 ,根据其余19人的年龄依次相差一岁，得到 ，然后由最年长者的年龄大于90且不大于100求解. 【解析】由题意可设年纪最大年龄为 ，年纪最小年龄为 ， 则有 ， 所以 ， 因为 ， 解得 ， ， 所以 ， ， 所以极差为29， 故选：B. 3．（2021·广东高三二模）《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的 倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚 尺，则几日后两鼠相逢( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解. 【解析】大鼠从第一天起打进尺数依次为：1，2，4，8，…， 小鼠从第一天起打进尺数依次为：1， ， ， ，…， 前3天两鼠完成量的总和为 ，前4天两鼠完成量的总和为 ， 所以第4天两鼠相逢. 故选：B 4．（2021·河北高三二模）南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前6项分别1，6，13，24，41，66，则该数列的第7项为（ ） A．91 B．99 C．101 D．113 【答案】C 【分析】根据已知条件求解出已知数列的逐项差数所构成的数列直至数列为等差数列，分析出等差数列的第6项的值，将其加上各逐项差数数列的第6项即可求解出结果. 【解析】由题意可知：1，6，13，24，41，66，…的逐项差组成的数列为：5，7，11，17，25，… 这个数列的逐项差组成的数列为：2，4，6，8，10，…是等差数列， 则该数列的第7项为： . 故选：C. 5．（2021·河北石家庄市高三一模）已知数列 的通项公式为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察得到 的周期为 ，再求出 的表达式，进而求解结论，得到答案. 【解析】由题意，数列 的通项公式为 ，且函数 的周期为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 又因为 ， 所以 . 故选：D. 6．（2021·湖北高三二模）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（ ） （取 ， ） A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元 【答案】D 【分析】设 ，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为 ，由题意得出 的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论． 【解析】设 ，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为 ， ，、 同理