专题04 立体几何-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题04 立体几何 1．（2021·山东高三二模）如图，在正方体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，则（ ） A． B． 平面 C． D．向量 与向量 的夹角是 【答案】BC 【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算以及空间向量法可判断各选项的正误. 【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体 的棱长为 ，则 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 . 对于A选项， ， ，则 ，故A选项错误； 对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ， 由 ，可得 ，取 ，可得 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，故B选项正确； 对于C选项， ， ， ，故C选项正确； 对于D选项， ， ， ， 所以，向量 与向量 的夹角是 ，故D选项错误. 故选：BC. 2．（2021·山东淄博市高三二模）已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， ，给出下列四个论断：① ；② ；③ ；④ ．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是（ ）． A．①②③(④ B．①③④(② C．①②④(③ D．②③④(① 【答案】AC 【分析】利用空间线线、线面、面面位置关系，根据选项一一判断即可． 【解析】对A选项，若① ，② ，③ ，且 ，所以有④ 成立，则A正确； 对B选项，若① ，③ ，④ ，则 可能相交、平行或异面，则B错； 对C选项，若① ，② ，④ ，且 ，所以有③ 成立，则C正确； 对D选项，若② ，③ ，④ ，则平面 ， 可能相交、平行． 故选：AC 3．（2021·辽宁高三模拟）矩形 中， ， ，将 沿 折起，使 到 的位置， 在平面 的射影 恰落在 上，则（ ） A．三棱锥 的外接球直径为 B．平面 平面 C．平面 平面 D． 与 所成角为 【答案】AB 【分析】根据面面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理结合对选项BCD逐一进行分析，对A选项注意确定球心位置，然后利用勾股定理求解外接球的直径. 【解析】由题意， 平面 ，又 ， ，∴ 平面 ．故D错误； 又 ， ，可得 平面 ，又 平面 平面 平面 ．故B正确； 对C，若平面 平面 ，则由 平面 与 矛盾，故C错误； 取 中点为 ．则 ，故 为三棱锥 的外接球球心， 所以直径 ，故A正确． 故选：AB 4．（2021·辽宁高三模拟）在直角梯形 中， ， ， ，点 为直线 上一点，且 ，将该直角梯形沿 折叠成三棱锥 ，则下列说法正确的是（ ） A．存在位置 ，使得 B．在折叠的过程中，始终有 C．三棱锥 体积最大值为 D．当三棱锥 体积最大时， 【答案】BCD 【分析】在翻折过程中，可得点 在平面 内射影 始终落在直线 上，假设存在位置 ，使得 ，根据线面垂直的性质定理、判定定理，可判断A的正误；根据线面垂直的判定定理，可判断B的正误；当平面 平面 时，三棱锥 体积最大，代入体积公式，即可判断C的正误；当三棱锥 体积最大时， 在 上的投影为 ，根据余弦定理，即可判断D的正误，即可得答案. 【解析】如图所示， 从 翻折过程中，点 在平面 内射影 始终落在直线 上， 假设存在位置 ，使得 ，又 平面 . 所以 ，所以 平面 ， 因此 ，与题意不符，选项A错误； 因为四边形 为菱形，所以 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ，故B选项正确； 当平面 平面 时，三棱锥 体积最大，此时的体积为 ，故C选项正确； 当三棱锥 体积最大时， 在 上的投影为 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ，所以 . 故选：BCD 5．（2021·江苏镇江市高三模拟）如图，在矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 ，若 为线段 的中点，则 在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A．存在某个位置，使 B． 为定值 C．存在某个位置，使 平面 D．若 ，当三棱锥 的体积最大时，该三棱锥的外接球表面积是 【答案】BD 【分析】对于选项A，先假设存在某个位置使得 ，通过说明 与 矛盾来判断； 对于选项B，取CD中点F，利用中位线得平行关系以及余弦定理来计算得出MB是定值； 对于选项C，通过利用中位线、平行四边形说明面面平行，得到BM . 对于选项D，当 时，三棱锥 的体积最大， ，F为三棱锥 的外接球球心，进而进行计算得出结果. 【解析】 若存在某个位置使 ,由已知得 ，则 ，又 ， ,得 ，这与使 矛盾，故A错误; 取CD中点F，连接MF,BF，则 ， ， 由 ， 为定值，又FB=DE为定值, 所以由余弦定理可得 ，即MB是定值，故B正确. 因为M,F分别为 C、CD的中点，所以 ， 因为 , ,所以 ， 因为 且 ，所以四边