专题02 函数与导数-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第五期•5月）

专题02 函数 1．（2021·山东青岛市高三二模）已知定义在 上的函数 的图象连续不断，有下列四个命题： 甲： 是奇函数； 乙： 的图象关于直线 对称； 丙： 在区间 上单调递减； 丁：函数 的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果. 【解析】由连续函数 的特征知：由于区间 的宽度为2， 所以 在区间 上单调递减与函数 的周期为2相互矛盾， 即丙、丁中有一个为假命题； 若甲、乙成立，即 ， ， 则 ， 所以 ，即函数 的周期为4， 即丁为假命题. 由于只有一个假命题，则可得该命题是丁， 故选：D. 2．（2021·山东德州市高三二模）函数 的部分图像大致为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，取特殊值，判断正负，即可判断图像. 【解析】由 知， 为偶函数， ， ，故排除BC选项； ， ，易知 在随着x增大过程中出现递减趋势，且趋近于x轴，故A正确，故选A. 3．（2021·辽宁高三一模）已知函数 ．若曲线 存在两条过 点的切线，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到 ，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案. 【解析】 ，设切点坐标为（ ），则切线方程为 ， 又切线过点（2,0），可得 ，整理得 ， 曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足 ，解得 或 ， 故选：D. 4．（2021·辽宁高三一模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 互相垂直，则函数 的图象向右平移 个单位得到图象的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义可求出 ，从而得到 的解析式，然后再利用图象的变换法则进行求解即可得到结果. 【解析】函数 ，∴ ， ∵曲线 在点 处的切线与直线 互相垂直， ∴ ，∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ， ∴函数 的图象向右平移 个单位得到图象的解析式为 ，故选A. 5．（2021·辽宁高三一模）熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．在数学中，利用熵可以解决如下问题：有 个互不相等的数，需要比较 次（ 表示的 阶乘： 表示的是向上取整函数，如 ）就可以将这些数从小到大排序．现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较 次，然后进行计算即可得出结果. 【解析】根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较 次， 而 ， 且 ， ∴ ，故选C. 6．（2021·辽宁高三模拟）近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国!某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收 的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的 时，至少需要经过该装置的次数为（ ）(参考数据： ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】先由题意建立不等式，然后再解指数不等式确定合理的解即可. 【解析】设废水中最原始的该重金属含量为 ，则经过 次该装置过滤后，该重金属含量为 EMBED Equation.DSMT4 ，根据题意知 ，即 ，两边取常用对数得 EMBED Equation.DSMT4 . 所以 取最小整数为14，故选D. 7．（2021·辽宁高三模拟）若关于 的方程 恰有3个不同的根，其中 且 ，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由已知得方程 恰有3个不同的根，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性及最值，知若方程恰有3个不同的根，需 即可，即 ，令 ， 构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理知，该方程的根 ，进而求解. 【解析】 所以题目转化为方程 恰有3个不同的根， 令 ，求导 ，令 ，解得 ， . 当 时， ，故 单调递增；当 ， ，故 单调递减；当 ， ，故 单调递增； 显然当 时， ；当 时， ； 故 恰有3个不同的根，只需 即可， 即 ，即 ， 令 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ， 构造函数 ，求导 ，令 ，得 ， 当