9.2.4 总体离散程度的估计-2020-2021学年高一数学新教材配套导学案（人教A版2019必修第二册）

9.2.4 总体离散程度的估计 学习目标: 1. 理解方差、标准差概念. 2. 学会计算样本数据的方差、标准差. 预习案 1. 极差 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 2. 方差 一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为， 有时为了计算方差的方便我们还把方差写成以下形式, 对方差开平方,得这组数据的标准差为. 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差,为总体标准差.与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的个变量值中不同的值共有（）个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为___. 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差. 3. 标准差与离散程度 标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据的离散程度越_大_；标准差越小，数据的离散程度越_小_.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 即时练习: 在一次体检时测得某班级6名同学的身高分别为：162，173，182，176，174，183(单位：厘米）.则这6名同学身高的方差为_48__. 【详解】 解：6名同学的平均身高为， 所以这6名同学身高的方差为． 故答案为：48． 探究案 1．下列说法正确的是（ B ） A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 【答案】B 【详解】 A在两组数据中，平均数与方差所表示的意义不同，由此不能根据平均数的大小来衡量其方差的大小，所以A的说法错误； C求和后还需再平衡； D方差大的表示射击水平不稳定， 只有B正确， 故选：B. 2．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2，加上这个数后的这组数据（ B ） A．平均数等于10，方差等于2 B．平均数等于10，方差小于2 C．平均数大于10，方差小于2 D．平均数小于10，方差大于2 【答案】B 【详解】 解：设这组数据为，，…，，它的平均数为10，方差为2， 所以，， 添上数据10后，这组数据的平均数为， 方差为． 所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2 故选：B． 3.数据的方差为,数据的方差为,为常数,证明: (1)如果,,……，，那么. (2)如果，，……，，那么. 【答案】 【详解】 (1) 设的平均数为,的平均数为,则, (2) 的平均数为,则, 4.把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量 组别 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班学生的平均成绩和标准差. 【答案】85， 【分析】 首先设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，分别写出两组的平均数公式，再解出全班同学的平均数公式，计算结果；分别写出两组的标准差， ，利用前面的计算结果，代入求值. 【详解】 设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)， 依题意有， ， 故全班平均成绩为 ； 又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则 ， (此处，，)， 又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为 ()，故有 ＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. 即. 所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 $ 9.2.4 总体离散程度的估计 学习目标: 1. 理解方差、标准差概念. 2. 学会计算样本数据的方差、标准差. 预习案 1. 极差 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.极差在一定程度上刻画了数据的 ，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 2. 方差 一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为 ， 有时为了计算方差的方便我们还把方差写成以下形式 , 对方差开平方,得这组数据的标准差为 . 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称_________________为总体方差，______