2.3.1 向量的数乘运算-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§3　从速度的倍数到向量的数乘

3.1　向量的数乘运算

 

[教材梳理]

◎导学1　向量的数乘运算的定义

[问题]　甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？

[提示]　甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的倍.

◎结论形成

1.数乘运算的定义及几何意义

定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件：

(1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同；

当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反；

当λ＝0时，0a＝0.

(2)|λa|＝|λ||a|.

这种运算称为向量的数乘.

几何意义：

当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；

当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.

2.向量的单位化

一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量，即，这一过程称为向量的单位化.

◎导学2　数乘运算的运算律

[问题]　数乘运算的运算律(1)和(3)有什么区别？

[提示]　在(λ＋μ)a＝λa＋μ a中，是对实数λ，μ的分配，用几何图形反映出来是在同一方向上，向量a之间的变化；在λ(a＋b)＝λa＋λb中，是对两个向量a，b进行的分配，反映在图形中(特别是右式)表现出是三角形法则求和.

◎结论形成

设λ，μ为实数，a，b为向量，数乘运算的运算律为

(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(2)λ(μa)＝(λμ)a；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

[基础自测]

1.4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)

A.a－2b　　  B.a　　　  C.a－6b　　  D.a－8b

解析　原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.

答案　D

2.点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)

A.－2    B.     C.－    D.2

解析　如图，＝3，所以＝2.

答案　D

3.已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.

解析　由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，

又两向量同向，故b＝2a.

答案　2

4.点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.

解析　因为C在线段AB上，且＝，

所以与方向相同，与方向相反，

且＝，＝，

所以＝，＝－.

答案　　－

[来源:学。科。网]

题型一　向量的数乘运算的理解

[例1]　已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　)