2.3.1 向量的数乘运算-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 学业标准 学科素养 1.掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义.(重点) 2.掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算.(难点) 1.通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象核心素养. 2.通过向量的线性运算，主要提升数学运算核心素养. [教材梳理] ◎导学1　向量的数乘运算的定义 [问题]　甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？ [提示]　甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的倍. ◎结论形成 1.数乘运算的定义及几何意义 定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ＞0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ＜0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. 几何意义： 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍； 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 2.向量的单位化 一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量，即，这一过程称为向量的单位化. ◎导学2　数乘运算的运算律 [问题]　数乘运算的运算律(1)和(3)有什么区别？ [提示]　在(λ＋μ)a＝λa＋μ a中，是对实数λ，μ的分配，用几何图形反映出来是在同一方向上，向量a之间的变化；在λ(a＋b)＝λa＋λb中，是对两个向量a，b进行的分配，反映在图形中(特别是右式)表现出是三角形法则求和. ◎结论形成 设λ，μ为实数，a，b为向量，数乘运算的运算律为 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. [基础自测] 1.4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A.a－2b　　 B.a　　　 C.a－6b　　 D.a－8b 解析　原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 答案　D 2.点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A.－2 B. C.－ D.2 解析　如图，＝3，所以＝2. 答案　D 3.已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析　由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|， 又两向量同向，故b＝2a. 答案　2 4.点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析　因为C在线段AB上，且＝， 所以与方向相同，与方向相反， 且＝，＝， 所以＝，＝－. 答案　　－ [来源:学。科。网] 题型一　向量的数乘运算的理解 [例1]　已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　) ①当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ＞0，a≠0时λa与a的方向一定相同； ③当λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量； ④当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ⑤当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反. A.2个　　　 B.3个　　　 C.4个　　　 D.5个 [自主解答]　根据实数λ与向量a的积λa的方向，易知①②③都是正确的；对于④，由λμ＞0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ＜0可得λ，μ异号，所以在λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa是反向的，故⑤正确. [答案]　D [反思提高] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算. (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0或a＝0，均有λa＝0而不是0. (3)由3a＝5b可变形为a＝b，但不能3＝. [触类旁通] 1.λ，μ∈R，下列关系正确的是(　　) A.若λ＝0，则λa＝0 B.若a＝0，则λa＝0 C.|λa|＝|λ|a D.λ(μ＋a)＝λμ＋λa 答案　B 题型二　向量的线性运算 [例2]　(1)化简下列各向量表达式： ①3(6a＋b)－9； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c). (2)解关于x，y的方程组 [自主解答]　(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (2)由x－4y＝2b，可得x＝4y＋2b， 代入2x＋3y＝a，可得2(4y＋2b)＋3y＝a， 于是8y＋4b＋3y＝a，解得y＝a－b， 再代入x＝4y＋2b中可得x＝a＋b. 故方程组的解是 [母题变式] 本例(