2.2 从位移的合成到向量的加减法-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§2　从位移的合成到向量的加减法 学业标准 学科素养 1.理解向量加(减)法的定义，会用向量加(减)法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和(或差).(难点) 2.会用向量加法的运算律进行向量的加(减)运算.(重点) 1.通过向量加(减)法的定义，三角形法则、平行四边形法则的应用，培养直观想象核心素养. 2.通过向量加(减)法的运算提升数学运算核心素养. [教材梳理] ◎导学1　向量的加法 [问题1]　某对象从A地经B地到C地，两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的关系如何？ [提示]　结果相同，即＋＝. [问题2]　实数的加法满足哪些运算律？向量加法是否也满足这些运算律？ [提示]　实数的加法满足交换律和结合律，向量加法也满足.[来源:学#科#网] ◎结论形成 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则、三角形法则 图示 作图方法 平行 四边 形法 则　 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b. 三角形 法则　 作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和. 3.两个共线向量的和 若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向一致，大小为两个向量大小之和；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与较大向量的方向一致，大小是两个向量大小差的绝对值. 特别　互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 4.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). ◎导学2　向量的减法 [问题]　在数的运算中，减法可以看作加法的逆运算，那么向量的减法与向量的加法的关系怎样？ [提示]　向量的减法是向量的加法的逆运算. 即a－b＝a＋(－b). ◎结论形成 1.向量减法的定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b). 2.几何意义 如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b.(如图) [基础自测] 1.下列等式中正确的个数是(　　) ①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0. A.3　　　　 B.4　　　　 C.5　　　　 D.6 解析　只有⑥错误，故选C. 答案　C 2.在△ABC中，D是BC边上的一点，－等于(　　) A. B. C. D. 解析　在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝. 答案　C 3.下列四式中不能化简为的是(　　) A.(＋)＋ B.(＋)＋(＋) C.－＋ D.＋－ 解析　对于A，有＋＋＝；对于B，有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C，有(－)＋＝＋＝；只有D无法化简为. 答案　D 4.若a，b为相反向量， 且|a|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________. 解析　若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2. 答案　0　2 题型一　向量加、减法几何作图 [例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [自主解答]　解法一　如图(1)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 解法二　如图(2)所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 连接OC，则＝a＋b－c. [方法规律] 求作几个已知向量的和或差的方法 (1)作两向量的和向量 ①将两个向量的起点平移到同一点O，作平行四边形，利用平行四边形法则得到和向量. ②利用三角形法则，依次平移两个向量，并让它们首尾相接. (2)作两向量的差向量 将两个向量的起点平移到同一点O.连接两向量终点，指向被减向量. (3)作多个向量的和或差时，应先确定作图顺序，再依次完成. [触类旁通] 1.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空： a＋b＝________， b＋c＝________， c－d＝________， a＋b＋c－d＝________. 解析　a＋b＝＝－f， b＋c＝＝－e， c－d＝c＋(－d)＝＋＝＝f， a＋b＋c－d＝＋＋－ ＝＋＋＋＝0. 答案　－f　－e　f　0 题型二　向量加、减法的运算 [例2]　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A.0　　　 B.　　　 C.