专题04超几何分布、二项分布与正态分布-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-3）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 04 超几何分布、二项分布与正态分布 【例题精讲】 一、超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即： X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*． 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 例1．已知超几何分布满足，5，，则 ． 【答案】 【解析】超几何分布满足，5，，． 例2．（多选）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是 A．取出的最大号码服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】BD 【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球， 对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定， 也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误； 对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确； 对于，取出2个白球的概率为，故错误； 对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大， 总得分最大的概率为，故正确． 例3．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求： （1）取出的3个球中红球的个数的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 【解析】解：（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 且服从参数为，，的超几何分布， 因此；所以， ，， ； 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球” 为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件， 由于事件，，彼此互斥，且， 而，，， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为： ． 答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为． 二、二项分布 二项分布的期望与方差：如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． 例1．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，可得．所得点数的数学期望． 例2．若，则 A．20 B．40 C．15 D．30 【答案】C 【解析】，则． 例3．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如其中的各位数中，3，4，出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时 A．服从二项分布 B． C．的期望 D．的方差 【答案】ABC 【解析】由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1， 且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类： ①后4个数出现0，，记其概率为； ②后4个数位只出现1个1，，记其概率为； ③后4位数位出现2个1，，记其概率为， ④后4个数为上出现3个1，记其概率为， ⑤后4个数为都出现1，，记其概率为， 故，故正确； 又，故正确； ，，故正确； ，的方差，故错误． 例4．常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城，常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览中华恐龙园，另外的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺，每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率． （1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率； （2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的概率分布和数学期望． 【解析】解：（1）由题意得：每位游客只游览中华恐龙园的概率为，既游览中华恐龙园又参观天宁寺的概率为， 记两位游客中“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件：则（A）． 另一