安徽省合肥市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

合肥一中2020—2021学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 时长：120分钟 分值：150分 命题人：余雪梅、王晓冉 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知 ，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 下列说法正确的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 B. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 C. 通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线 D. 球面上四个不同的点一定不在同一个平面内 【答案】C 3. 已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则向量 ， 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 梯形 （如图）是一水平放置的平面图形 的直观图（斜二测），若 轴， 轴， ，则平面图形 的面积是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 【答案】A 5. 在 中， ，则此三角形的解的情况是（ ） A. 有两解 B. 有一解 C. 有无数个解 D. 无解 【答案】D 6. 设 ， 是两个非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 7. 在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，过 ， ， 作正方体的截面，则这个截面的面积为 A. B. C. D. 【答案】C 8. 已知 的三个内角 的对边依次为 ，其中 且满足 ，则 面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 9. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 10. 一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 11. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为 ， 均是边长为2的等边三角形．设点 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 12. 的内角 所对的边分别为 ．已知 ．且 ，则 的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知 为虚数单位，若 ，则 ________ 【答案】 14. 给出下列说法： ①若直线 平行于平面 内的无数条直线，则 ； ②若直线 在平面 外，则 ； ③若空间中三条直线 满足 ，则直线 与 一定垂直； ④垂直于同一直线两条直线平行 其中正确说法的是__________ 【答案】③ 15. 已知非零向量 与 满足 且 ，若 ，则 的面积为___________． 【答案】 16. 把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为____________． 【答案】 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知向量 ． （1）若点 不能构成三角形，求 应满足的条件； （2）若 ，求 值． 【答案】（1） ；（2） 18. 已知圆锥 的底面半径 ，高 ． （1）求圆锥 的表面积和体积； （2）圆锥 的内接圆柱 的高为 ，当 为何值时，圆锥 的内接圆柱 的侧面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）表面积 ，体积为 ，（2） 时，侧面积最大为 19. 在 中，内角 的对边分别为 的面积记为 ，满足 ． （1）求 ； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 20. 如图，直三棱柱 中，平面 是边长为2的等边三角形， 为棱 的中点， 为棱 的中点， ． （Ⅰ）若 线段 上一动点，证明： 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） . 21. 为了美校园环境，合肥一中欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ．其中 百米， 百米，且 是以 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路 （路的宽度忽略不计），设 ， ． （1）当 时，求小路 的长度； （2）试求小路 的长度．使得草坪 的面积最大． 【答案】（1） ；（2） 的长度为 时，使得草坪 的面积最大 22. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如