专题03 三角形的证明 易错题之解答题（24题）-2020-2021学年八年级数学下册同步易错题精讲精练（北师大版）

专题03 三角形的证明 易错题之解答题（20题） Part1 与 等腰三角形 有关的易错题 1．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC， （1）求证：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）75． 【分析】 （1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可； （2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数. 【详解】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC==75°， 故答案为75． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键. 2．（2020·四川八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发． (1)经过多少秒，△BMN为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN为直角三角形． 【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形． 【分析】 （1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得． 【详解】 解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形， 则AM＝x，BN＝2x， ∴BM＝AB－AM＝30－x， 根据题意得30－x＝2x， 解得x＝10， 答：经过10秒，△BMN为等边三角形； (2)经过x秒，△BMN是直角三角形， ①当∠BNM＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BMN＝30°， ∴BN＝BM，即2x＝(30－x)， 解得x＝6； ②当∠BMN＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BNM＝30°， ∴BM＝BN，即30－x＝×2x， 解得x＝15， 答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定. 3．（2020·浙江八年级期末） 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）等腰三角形，理由见解析 【详解】 证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC． （2）△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 4．（2020·天津东丽区·八年级期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形， （1）求证：△ABE≌△ADC； （2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数； （3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE． 【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析 【解析】 试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE． 试题解析： （1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形 ∴AB=AD，AE=AC， ∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAC=∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ∴， ∴△ABE≌△ADC； （2）由（1）知△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， ∵∠ACD=15°， ∴∠AEB=15°； （3）同上可证：△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， 又∵∠ACD=60°， ∴∠AEB=60°， ∵∠EAC=60°， ∴∠AEB=∠EAC， ∴AC∥BE． 点睛