专题01 计数原理与排列组合-2020-2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习（苏教版选修2-3）

2020—2021学年高二数学下学期期末考试备考提优复习 01 计数原理与排列组合 【例题精讲】 一、几个高频考点类型 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题．解决这类问题通常有三种途径：（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法． 在求解排列与组合应用问题时，应注意： （1）把具体问题转化或归结为排列或组合问题； （2）通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； （3）分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； （4）列出式子计算和作答． 解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种． 经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想． （一）简单问题直接法 例1．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为 A．15 B．30 C．6 D．9 【答案】D 【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为． 例2．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法共有 A．15种 B．45种 C．90种 D．540种 【答案】C 【解答】根据题意，对于第一名教师：可以在6个班级任选2个，有选法； 对于第二名教师：可以在剩下的4个班级任选2个，有选法； 对于第二名教师：教剩下的2个班级，有选法； 则有种不同的选法． 例3．将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种， 故一共有种投法． （二）特殊元素优先法 例4．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【解析】分两步，先从小李、小罗、小王三名志愿者中安排两人从事礼仪、司机，共有种，再从剩下的三人中选2人从事翻译、导游，共有种，故不同的选派方法有种． （三）相邻元素捆绑法 例5．2位老师和3位同学站成一排合影，要求老师相邻且不在两端的排法有 种．（用数字作答） 【答案】24 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将3位同学全排列，有种排法，排好后中间有2个空位可用， ②将2位老师看成一个整体，安排在2个空位中，有种安排方法， 则有种排法． （四）不相邻问题插空法 例6．5名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站法有 种．（结果用数值表示） 【答案】72 【解析】根据题意，设剩下的三个人为、、，分2步进行分析： ①将、、全排列，有种情况，排好后有4个空位， ②将甲乙安排到4个空位中，有种情况， 则甲乙两名学生不相邻的站法有种． （五）等概率问题缩倍法 例7．若把英文单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有 种． 【答案】11 【解答】根据题意，因为“”四个字母中的两个“”是相同的，则其不同的排列有种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种． （六）正难则反间接法 例8．、、、四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生不参加甲社团，不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有 A．14 B．18 C．12 D．4 【答案】A 【解析】根据题意，若不考虑限制条件，四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，有种情况， 其中参加甲社团的情况有种，参加乙社团的情况有种， 参加甲社团且参加乙社团的情况有种， 则有种符合条件的报名方法． 例9．习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有 A．48种 B．68种 C．38种 D．34种