雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料选修4-1几何证明选讲

选修4－1－1　相似三角形的判定 及有关性质 考纲点击 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1．平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段①__________.如右图所示． l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于A、B、C、D、E、F，则eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF). 说明：上图中，除了eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF)外，还有eq \f(AB,AC)＝②__________；eq \f(BC,AC)＝③__________成立． (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例．如下图所示． 在以上三种基本图形中，DE∥BC，有eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC). (3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线④________________________. 2．三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，则有⑤__________. 3．直角三角形的射影定理 (1)定理：直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则 AC2＝⑥__________； BC2＝⑦__________； CD2＝⑧__________. (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形． 答案：①成比例　②eq \f(DE,DF)　③eq \f(EF,DF)　④平行于三角形的第三边 ⑤eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC)　⑥AD·AB　⑦DB·AB　⑧AD·DB 考点自测 1．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段BF的长为__________． 解析：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形． ∴FC＝DE＝5 cm. ∵DF∥AC， ∴eq \f(BF,FC)＝eq \f(BD,DA)，即eq \f(BF,5)＝eq \f(8,4). ∴BF＝10 cm. 答案：10 cm 2．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，AB∶AC＝3∶2，则CD∶BD＝__________. 解析：由△ABD∽△CBA得AB2＝BD·BC. 由△ADC∽△BAC，得AC2＝DC·BC， ∴eq \f(CD·BC,BD·BC)＝eq \f(AC2,AB2)＝eq \f(4,9). 即CD∶BD＝4∶9. 答案：4∶9 3．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，则AD∶BF＝______. 解析：由题可证得△BEF∽△CDF，∴eq \f(DC,BE)＝eq \f(DF,EF)＝eq \f(3,2). ∴eq \f(AD,BF)＝eq \f(DE,EF)＝eq \f(DF,EF)＋1＝eq \f(5,2). 答案：5∶2 4．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝__________. 解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC及 ∠ACD＝90°可推得Rt△ABE∽Rt△ADC，则eq \f(AE,AC)＝eq \f(AB,AD)， ∴AE＝eq \f(6×4,12)＝2. 答案：2 5．如图，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为__________． 解析：∵PQ⊥PC， ∴∠APQ＋∠BPC＝90°. ∴∠APQ＝∠BCP. ∴Rt△APQ∽Rt△PBC. ∴eq \f(AP,BC)＝eq \f(PQ,PC). ∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3， ∴PB＝3，AP＝1. ∴PQ＝eq \f(AP·PC,BC). 又PC2＝eq \r(32＋42)＝5，∴PQ＝eq \f(5,4). 答案：eq \f(5,4) 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.证明三角形相似的一般思路是：先找两对内角对应相等；若只找到一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若找不到角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解． 3．已知条件中含有直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，