雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第二章导数及其应用

2．1　变化率与导数、导数的计算 考纲点击 1.了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝x3，y＝eq \r(x)的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1．平均变化率及瞬时变化率 (1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：eq \f(Δy,Δx)＝①_____________. (2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：eq \o(lim,\s\do10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝②________. 2．导数的概念 (1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______，记作y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do10(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). (2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④__________________. 3．导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________. 4．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝⑦______(C为常数)． (2)(xn)′＝⑧__________(n∈Q*)． (3)(sinx)′＝⑨______，(cosx)′＝⑩______. (4)(ex)′＝⑪______，(ax)′＝⑫______. (5)(lnx)′＝⑬______，(logax)′＝⑭______. 5．导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝⑮__________. (2)[f(x)·g(x)]′＝⑯______________________. (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)． 答案：①eq \f(fx2－fx1,x2－x1)　②eq \o(lim,\s\do10(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)　③瞬时变化率　④eq \o(lim,\s\do10(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)　⑤曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率　⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0)　⑦0　⑧nxn－1　⑨cosx　⑩－sinx　⑪ex　⑫axlna　⑬eq \f(1,x)　⑭eq \f(1,xlna)　⑮f′(x)±g′(x)　⑯f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 考点自测 1.下列求导运算正确的是(　　) A．(x＋eq \f(1,x))′＝1＋eq \f(1,x2)　　　　B．(log2x)′＝eq \f(1,xln 2) C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx 解析：由导数的运算法则以及常用函数的导数公式易得． 答案：B 2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9. 答案：C 3．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 解析：由f ′(x)＝g′(x)，得f ′(x)－g′(x)＝0，即 [f(x)－g(x)]′＝0， 所以f(x)－g(x)＝c(c为常数)． 答案：C 4．曲线y＝eq \f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为__________． 解析：∵y′＝eq \f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq \f(2,x＋22)， ∴k＝y′|x＝－1＝eq \f(2,－1＋22)＝2， ∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案：y＝2x＋1 5．曲线y＝xsinx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线与x轴，直线x＝π所围成的三角形的面积为__________．