专题17 与相似有关的证明及相似-备战2021年中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）

题型十七 与相似有关的证明及计算 【要点提炼】 1、 【A型】 （平行） （不平行） 证明相似的要点：公共角等 相似所得比例式： 2、 【X型】 （蝴蝶型） 证明相似的要点：对顶角等 相似所得比例式： 3、 【K型、一线三等角模型】 证明相似的要点：同角得余角相等或∠1+∠2=∠2+∠3得∠1=∠3 相似所得比例式： 4、 【母子型】 证明相似的要点：同角得余角相等、公共角 相似所得比例式： AC2=ADAB BC2=BDBA CD2=ADBD 5、 【旋转型，手拉手模型】 证明相似的要点：图中有两对相似，和，可以互推 相似所得比例式： 【专题训练】 1．（2020•宁波）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 2．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8． （1）求证：四边形AEFD为菱形． （2）求四边形AEFD的面积． （3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 4．（2020•杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长． （2）连接EG，若EG⊥AF， ①求证：点G为CD边的中点． ②求λ的值． 5．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF． （1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值． （2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值． （3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值． 6．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP＝FD． （1）求的值； （2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF； （3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由． 7．（2019•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连接BM并延长分别交DE，AC于点F、G． （1）求CD的长． （2）若点M是线段AD的中点，求的值． （3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？ 8．（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形． （3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值． 9．（2018•襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD