专题16 与圆有关的证明及计算-备战2021年中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）

题型十六 与圆有关的证明及计算 【要点提炼】 1、 【证明切线】 ①连半径，证垂直 证明垂直的方法大概分为三个知识点：平行；互余；全等 ②做垂直，证半径 证明半径的方法一般是利用全等 2、 【圆中的相似】 ①常见的相似模型依旧可以在圆中取寻找，例如A型、K型、手拉手模型、X型、母子型、三垂直模型等 ②圆中还有一些比较特殊的模型，如下： 定理一：相交弦得相似--相交线定理 内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 【方法指引】：此题由相交弦定理可秒！ ①通过同弧所对的圆周角相等可得到一对角相等；②再结合对顶角相等可证相似。 其中此类题所得到的通式：可作为结论记忆 定理证明：已知⊙O 中，AB、CD 为弦，交于 P，求证： 另：【相交弦定理推论】若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC²=PA·PB 定理二：一条切线和一条割线得相似--弦切角定理 概念：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数 【方法指引】：弦切角顾名思义就是切线与弦的夹角，如例2图中，若连接BC、AC，∠PCB即弦切角，而在该定理中指出，弦切角∠PCB等于CB所对的圆周角，例如∠PAC、∠BCD；而此等角即可帮我们推理出母子型相似 即 弦切角定理→母子型相似 的套路，可作为结论记忆 定理三：两条割线得相似--切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（如例1题图：BA2=BM·BN） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等（例1题图，若连接AN、DM，则可通过相似得出） 【方法指引】：此类题如用切割线定理结合弦切角定理可秒，一般已知切线，并应用于求线段长度，而切割线定理得到的通式或可作为结论记忆 3、 【圆中的三角函数】 一般情况下出现三角函数都会作垂线，但圆中出现三角函数时一般不作垂线，可以利用直径所对的圆周角为直角构造直角三角形。 另外，此类题目中出现三角函数时，我们还会将角转移到与它相等的角上，在一道题目中，一个三角函数可以在多个角中使用，并且在一个角上也可多次使用 4、 【扇形面积及弧长】 = 【专题训练】 1．（2020•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF． （1）求证：△BEF是直角三角形； （2）求证：△BEF∽△BCA； （3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值． 2．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G． （1）求证：∠1＝∠2． （2）点C关于DG的对称点为F，连接CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1，求⊙O的半径． 3．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 4．（2020•杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 5．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD，BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD＝∠ABC； （2）若AD＝6，求的长． 6．（2019•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）． （1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长； （2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆． ①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切； ②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连接QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角