2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题10 空间中的垂直问题（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题10空间中的垂直问题（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、与空间垂直有关的命题；二、空间垂直关系的判断与证明；三、空间垂直条件下的计算问题（不含空间角与空间距离）． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：与垂直有关的命题】 例1．已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于，若，，则或者，错误； 对于，，，只与平面内的一条直线垂直，根据线面垂直的判定定理，不能得到垂直平面，错误； 对于，若，，则，正确； 对于，，，根据面面垂直的性质定理，若不垂直于平面和的交线，则不能得到垂直平面，错误． 例2．（多选）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法中正确的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【解析】对于，如果，，，那么与平行或相交，错误； 对于，若，，，则由面面垂直的判断定理得，故正确； 对于，若，，，则由线面垂直的性质得，故正确； 对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误． 例3．（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABCD 【解析】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，故直线和直线相当于平面和的法线． 故：当时，且，，则，正确． 当，且，，则，正确． 当，且，，则，正确． 当，且，，则，正确． 例4．（多选）平面外有两条直线和，从下面的条件中可以推出的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【解析】由平面外有两条直线和，知： 在中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故正确； 在中，若，，则，平行，故错误； 在中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故正确； 在中，若，，则，相交、平行或异面，故错误． 变式训练： 1．下列命题说法错误的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对，若，根据线面平行的性质定理，存在平面，有，，使得， 由于，所以，即有，正确； 对，根据面面平行的性质定理可知，正确； 对，根据一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则它和另一个平面也垂直，正确； 对，若，，则与可能平行，也可能相交，错误． 2．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于选项，若，，则与可能相交、平行或者异面；故错误； 对于，若，，则与可能平行或者在内；故错误； 对于，若，，根据线面垂直的性质可得；故正确； 对于，若，，则或者；故错误． 3．（多选）关于异面直线，，下列四个命题正确的有 A．过直线有且仅有一个平面，使 B．过直线有且仅有一个平面，使 C．在空间存在平面，使， D．在空间不存在平面，使， 【答案】BCD 【解析】对于，若存在过直线的平面，使得，则，故当异面直线，不垂直时结论错误，故错误； 对于，过直线上任意一点作直线的平行线，则直线与确定一定平面，显然，由于过点的平行线是唯一的，故平面也是唯一的，故正确； 对于，过直线上一点作直线的平行线，则相交直线，确定一个平面，设，且，，则，，故正确； 对于，若存在平面，使得，，则，与，是异面直线矛盾，故正确． 4．（多选）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法错误的是 A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【解析】对于，若，，，，则，错误，添加条件与相交才正确； 对于，若，，则或，故错误； 对于，若，，则或或与相交，故错误； 对于，若，，则，正确． 5．（多选）设，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，下列选项中正确的有 A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】ACD 【解析】由，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，知： 对于，若，，，则由线面平行的判定定理得，故正确； 对于，若，，，，则与相交或平行，故错误； 对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故正确； 对于，若，，，，则线面垂直的判定定理得，故正确． 【考点二：空间垂直关系的判断与证明】 例1．在正四棱锥中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解析】证明：（1）因为，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）连结，交于点，连结． 因为为正四棱锥， 所以平面． 又平面， 所以． 又因为，， 所以， 在正方形中，， ． 又，平面，， 所以平面． 例2．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在