压轴19 数列的综合应用-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴19 数列的综合应用 一、单选题 1. 已知数列满足：，且，下列说法正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意，因为， 所以， 所以， 又由，可得，， 所以， 对于A中，由，得到，则， 所以， 所以所以不正确； B中，，可得，所以，所以不正确； 对于C中，可考虑函数，如图所示， 当，单调递减，且越来越小， 所以，即，所以C项错误； 对于D项，设，则，， 由上图可知，即 等价于，即， 即而显然成立，所以D项正确． 2. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是参考数据：，， A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】设第n年的研发投资资金为，， 则，由题意，需，两边取以10为底的对数，又N． ，，，，，，，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万．故选C． 3. 设实数成等差数列，且它们的和为9，如果实数成等比数列，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】实数成等差数列，且它们的和为9 ，， 实数成等比数列， 则，且 ， 当时，最小值为 故的取值范围为 故选C 4. 已知数列满足，设，为数列的前n项和若对恒成立，则实数t的最小值是 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】解：因为， 所以，， 两式相减得到，， 因为， 所以 所以 所以当时，， 当时，，随n的增大而增大， 所以， 所以， 所以t的最小值为． 故选D． 5. 数列表示数列前n项和，则下列选项中错误的是 A. 若 B. 若则递减 C. 若，则 D. ，则 【答案】D 【解析】解：对于选项A，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以，即对于时， 所以递推可知当，，故A正确； 对于选项B，， 的正根为， 因为，所以，所以， 因为，在上单调递增，在单调递增， 由，知，时，， 所以，所以递减，故B正确； 对于选项C，令，，则， 易得，所以， 所以，即，所以， 所以 ，故C正确， 对于选项D，因为，与B证明方法同理，可知当时，， 令，，则，易得， 所以，所以，即， 所以， 所以 ，故D错误． 故选：D． 6. 已知数列满足：则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由 得， 即，， 整理得，． A项，若，则，， 而， 则， 所以， 选项A错误； B项，若，则，， 故， 而， 则， 所以， 选项B错误 D项，当时，， 所以， 即时，不成立， 所以D错误． 由于 所以 令，所以， 则，所以， 又， 所以 ，即， 故选C． 7. 已知数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是 A. 当时，则 B. 当时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】B 【解析】解：当时，得，则，，故A错误； 当时，得，则有，，，，， ，， ，， ， ， 则，故B正确； 当时，得， 得， 则，故C错； 当时，得，同理可得，故D错． 故选B． 8. 已知函数的定义域为R，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：对任意的实数x，，恒成立， 令，，则， 当时，，，则， ， ，则， 即，且， 当时，；当时，；当时，， 数列是以3为周期的周期数列， ，，， ，， 当时，，，进而得． 设，且，则，， ． 即， 是R上的减函数， 故选：A． 9. 已知数列满足：，且，下列说法正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意，因为，所以， ，对于任意恒成立，所以， 对于A中，由，反复利用得到恒成立，所以，所以所以A不正确； 对于B中，，，反复利用式可得恒成立，，，数列单调递减． 由得，， 当时，， 即，当时，，故B正确 对于C中，考虑函数，如图所示，与直线交于点． 与交点横坐标即为， 与与交点横坐标即为，， 当，单调递减，且越来越小， ，即，故选项C错误； 对于D项，取，易得，，，故D错误． 故选B． 10. 已知数列中，，若，设，若，则正整数m的最大值为 A. 1009 B. 1010 C. 2019 D. 2020 【答案】B 【解析】解：，由，得， 所以， ， 所以当时，． ， ， 则 ， ， ， ， ， 正整数m的最大值为1010， 故选：B． 二、填空题 11. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，令，则数列的前99项和______． 【答案】 【解析】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为， 且，，成等比数列． 则：， 解得：， 所