压轴18 数列求和的方法-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴18 数列求和的方法 一、单选题 1. 已知数列满足，，则数列的前40项和 A. 1121 B. 1186 C. 1230 D. 1240 【答案】D 【解析】依题意，由，可得 ， ， ， 各项相加，可得 ． 再由题意，， ， ，可得， 则有， ，可得， 即． 则很明显，有． ． 故选：D． 2. 已知数列中，，，记，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：注意到，，，不难发现是递增数列． ，所以． 因为，故，所以，即是增函数． 于是，递增，递减， 所以，， 所以，选C． 事实上，，不难猜想：证明如下： ． 等价于， 所以，故， 于是， 即有． 因为， 所以， 所以， 故选C． 3. 数列满足，，且，记为数列的前n项和，则 A. 470 B. 304 C. 294 D. 174 【答案】B 【解析】解：， ， 数列是等差数列，公差与首项都为1， ，可得， ， ， ，， 同理可得，， ，， ， 则． 故选B． 4. 已知正项数列中，，，，，记数列的前n项和为，则的值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 【答案】A 【解析】解：因为，所以数列为等差数列． 又因为，，所以等差数列的首项为1，公差为3， 因此，即， 所以 ， 因此数列的前n项和 ， 所以． 故选A． 5. 已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列，，，中，有理数项的项数为 A. 42 B. 43 C. 44 D. 45 【答案】B 【解析】解：， ， ， 问题等价于在2，3，4，，中有多少个数可以开方， 设且，因为，， 所以且，共有43个． 故选B 6. 设数列的前n项积，记，求的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：令，则，得， 当时，因为，所以， 所以，即，， 所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 所以 ， 所以数列是递增数列， ， 因为， 所以 ， 所以， 综上，． 故选D． 7. 已知数列满足，，若数列的前50项和为m，则数列的前50项和为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意，数列满足，，若数列的前50项和为m， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以数列的前50项和为 ． 故选：B． 8. 数列满足，，，则 A. 存在，使 B. 存在m，，有 C. 存在m，，有 D. 【答案】D 【解析】解：由题设知，， ，即． 所以． 由，且知数列为递增数列． 所以有，于是． 所以． 故答案选D． 9. 2018年9月24日，英国数学家阿蒂亚爵士在“海蒂堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学届震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由时， 且 可得 即． 故选：C． 二、填空题 10. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，令，则数列的前99项和______． 【答案】 【解析】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为， 且，，成等比数列． 则：， 解得：， 所以：， 所以： ， 所以， 故答案为． 11. 已知数列中，，前n项和为若，则数列的前15项和为_______． 【答案】 【解析】解：数列中，，，前n项和为若，则， 整理得，所以数列是以1为首项，1位公差的等差数列， 则，所以． 所以． 所以． 故答案为：． 12. 若，则___________． 【答案】12111 【解析】解：， ， ． 故答案为12111． 13. 设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正数t的最小值为_____________。 【答案】3 三、解答题 14. 设数列的前n项和为，已知， 求证：数列为等比数列； 若数列满足：，． 求数列的通项公式； 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：解：由，得， 两式相减，得，即 因为，由，得，所以， 所以对任意都成立， 所以数列为等比数列，首项为1，公比为2． 由知，，由，得， 即，即，  因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．   所以，所以                                               设，则， 所以， 两式相减， 得  ， 所以． 由，得，即． 显然当时，上式成立，设，即． 因为， 所以数列单调递减，所以只有唯一解， 所以存在唯一正整数，使得成立． 15. 已知数列前n和为，且 求数列的通项公式； 令，求数列的前n和为； 记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】解：令，解得， ， ，两式相减得：， 数列是首项为1，公比为2的等比数列， ． 由得：