压轴17 等比数列-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴17 等比数列 一、单选题 1. 设为数列的前n项和，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：当时，， 整理得， 所以，当n为偶数时，， 当n为奇数且时，，所以， 当时，，， 所以 所以当n为偶数时，， 所以 ， 故选A． 2. 定义在上的函数满足，正项数列满足，，设，则数列的前n项和 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：， ， 又，， 则，则， 故数列为以2为公比的等比数列，首项， 则，整理得， 故，故选B． 3. 已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为 A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为正项等比数列中， 所以，即， 若存在两项、，使， 则， 所以，，，， 则， 当且仅当且即，时取等号， 故选：A． 4. 在等比数列中，，则 A. B. 3 C. D. 3或 【答案】B 【解析】解： 设等比数列的首项为，公比为q， 则， 又， 则， 即 ，联立得， 由题意知 ， 则， 故选B． 5. 设是等比数列的前n项和，且满足，，则 A. 3 B. C. 3或 D. 3或 【答案】D 【解析】解：设等比数列的公比为q， 若，则，，此时 则，不符合题意， 所以，，， ， ， ， 解得或． 或． 故选D． 6. 已知函数是R上的奇函数，满足，当若方程有9个实数根，则实数k的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由已知当，， 又为定义在R上的奇函数，， 当时成立． 当时，， ， 又时，满足， 则当时，， 当时取得最小值，当时，取得最大值； 当时，， 由可得 则当时， ， 当时取得最小值，当时，取得最大值； ，， ，，即． 当时， 当时取得最小值，当时，取得最大值； 函数的示意图如图所示： 由于是方程的一个实数根，根据函数是奇函数，同时也是奇函数， 又方程共有9个实数根， 在y轴的两侧各有4个交点， 由图像可知，当时，直线与的图象总有无穷多个不同的交点， 为使k满足题意，必须，且相切， 联立消去y并整理得， ， 由于切点横坐标， ， ． 故选A． 7. 已知各项都是正数的等比数列满足，存在两项使得，则的最小值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设等比数列的公比为q， 由，可得， ， 解得不满足题意，舍去或， 由，得：， ，即， ， ， 当且仅当，时，等号成立． 又m，， 当，，， 当，，， 故的最小值等于． 故选D． 8. 已知数列的前n项和为，若，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为，所以当时，， 两式相减化简得：， 而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此有， 所以， 故选A． 9. 已知是等差数列，公差d不为0，前n项和是若，，成等比数列，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】解：设等差数列的首项为， 则，，， 由，，成等比数列， 得    ， 整理得 ，又， ，则， 又， ． 故选B． 10. 已知等差数列的公差不为0，中的部分项成等比数列．若，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设等差数列的公差为d，则． 由已知，， 即，得． 于是，在等比数列，，，，中，公比． 由为数列的第n项，知； 由为数列的第项，知， ，故， ． 故选A． 二、填空题 11. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解．当且是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如若数列中，，则数列的前2020项的和为______． 【答案】 【解析】解：由题可知， ， ， ， ， ， 数列的前2020项的和为 ， 故答案为． 12. 设等比数列满足：，，其中，，则数列的前2019项之和是________． 【答案】 【解析】因为， 所以，  所以等比数列的公比若， 由知， 当n充分大，则，矛盾； 若，由知， 当n充分大，则，矛盾， 所以，从而， 所以． 则数列的前2 019项之和是． 故答案为． 13. 已知数列满足，且，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是____． 【答案】5 【解析】解：由题意可得：数列是等比数列，可得：． ， 解得：，解得． 使不等式成立的最大正整数n的值是5． 故答案为：5． 14. 若等比数列的各项均为正数，且，则的值为_____． 【答案】50 【解析】数列为等比数列，且， ， ， ， 故答案为50． 三、解答题 15. 已知数列中，，，其前n项和为，且当时， 求数列的通项公式； 设，记数列的前n项和为，求． 【答案】解：当时，． ， ， 又由，， 可推知对一切正整数n均有， 则数列是等比数列，公比，首项为1． ． 当时，，又， ．