压轴15 向量的应用-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴15 向量的应用 一、单选题 1. 在中，设，则动点M的轨迹必通过的 A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 【答案】D 【解析】解：如图所示： 设线段BC的中点为D，则． ， ， ，即 ，且平分BC． 因此动点M的轨迹必通过的外心． 故选D． 2. 如图所示，半圆的直径，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】解：由平行四边形法则得， 故，又 且反向，设， 则 ． ， 当时，的最小值为． 故选D． 3. 设O在的内部，且有 ，则的面积和的面积之比为          A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】解：分别取AC、BC的中点D、E， ， ， 即， 是DE的一个三等分点， ， 故选A． 4. 在平面内，定点A，B，C，O满足，，动点P，Q满足，，则的最大值是 A. 12 B. 6 C. D. 【答案】A 【解答】解：由题得，，． 同理，点O是的垂心． 又，点O为的外心， 为等边三角形，且． 建立如图所示的直角坐标系，且， ，． 设，，， 为直线AP与的夹角． ，为PC的中点． 又， ， ， ， ． 故选A． 5. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若P点坐标为，则 A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】解：由题意作出图象如图，共得5个交点， 根据余弦函数的中心对称性可知， 和，和关于对称， ， ， 故选：A． 6. 在中，点A在OM上，点B在ON上，且，若，则终点P落在四边形ABNM内含边界时的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 7. 在中，，，，若O为的外心即三角形外接圆的圆心，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：设分别为的中点，连接， 则，， 又，即， 同理， 因为， 所以， 又， 所以， 联立方程组 解得 所以． 故选A． 8. 已知O是内一点，且，点M在内不含边界，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】  解：因为O是内一点，且， 所以点O是三角形的重心， 又点M在内，所以， 所以当O与M重合时，最小，此时，， 当M与C重合时，最大，此时，，， 故， 故选B． 9. 已知向量，不共线，且对任意实数x，不等式恒成立，则下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：恒成立， 恒成立， 即恒成立， ， ， 即， ． 故选A． 10. 如图，在矩形ABCD中，，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则的最大值是 A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】由题意知， 设C到BD的距离为d，则有， 故， 其中， ，当且仅当与同向时，等号成立， 则的最大值是． 故选A． 二、填空题 11. ，则O是的          心．请填写：内，外，重，垂，中 【答案】内 【解析】解：平面内及一点O满足， 可得O在的平分线上， 可得O在的平分线上， 由， 可得O在的平分线上， 则点O是的内心． 故答案为内． 12. 在中，，三角形的外接圆的圆心为O，若，且，则的面积的最大值为________． 【答案】2 【解析】解：取BC的中点D，因为， 所以， 因为， 所以A，O，D三点共线， 因为O是三角形ABC的外接圆的圆心， 所以， 则， ， 仅当时，最大值为2． 故答案为2． 13. 如图，在矩形ABCD中，，，E，F分别是BC和CD的中点．若P是矩形ABCD内一点含边界，满足，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】解：由，得， 所以． 取，，则P，M，N三点共线， 即点P在直线上，且位于矩形内部含端点，如图． 设EF的中点为Q，则． 因为，，E，F分别是BC和CD的中点， 所以，的最小值Q到直线MN的距离，为， 所以的最小值为． 故答案为． 14. 已知在中，b，c为，所对的边，，，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】解：因为 显然D点为AC的中点，设． 根据正弦定理，得， ，，， ，其中． 因为． 所以的最大值为． 三、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且BC边上的中线长为． Ⅰ求角A的大小； Ⅱ求的面积． 【答案】解：Ⅰ由正弦定理可得， 所以， 因为， 整理得， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，即； Ⅱ设BC的中点为D， 则，即， 所以，解得， 所以． 16. 已知在平面直角坐标系xOy中，其顶点坐标分别为，，． 若，且为第二象限角，求的值． 若，且，求的最小值． 17. 已知O为坐标原点，点是x轴上的动点，点是y轴上的动点，且，动点满足． 求动点P的轨迹C的标准方程； 设