压轴12 三角恒等变换-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴12 三角恒等变换 一、单选题 1. 在中，若，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】解：由正弦定理化简已知的等式得：， ，又因为A和B都为三角形的内角， 或，即或， 则为等腰或直角三角形． 故选D． 2. 如图，在高出地面30m的小山顶C上建造一座电视塔，今在距离B点60m的地面上取一点A，在此点测得CD所张的角为，则电视塔CD的高度是   米 A. 150 B. 180 C. 120 D. 210 【答案】A 【解析】解：在中，， ， 又，， ， 故选A． 3. 在三角形ABC中，已知，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， 即 ， 所以，即 ， 又即 ， 联立解得， 故选C． 4. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意得， 因为函数的一条对称轴为，且， 所以，解得， 所以， 因为，又函数在上具有单调性， 所以，， 所以当时，． 故选C 5. 在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离．当、m变化时，d的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】解：由题意，， 其中， 当时，，当且仅当时取等号， 的最大值为3． 故选C． 6. 在中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若 ，则的大小是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：， 由正弦定理可得：， ， 可得：，， ， ， 又，所以， 则， 而， 所以， 故选D． 7. 下面结论中，正确结论的是 A. 存在两个不等实数，使得等式成立 B. 的最小值为4 C. 若是等比数列的前n项的和，则成等比数列 D. 已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定是锐角三角形 【答案】A 【解析】解：两个不等实数，，使得等式成立，故A正确； ，设，可得在递减， 即有函数的最小值为5，故B错误； 是等比数列的前n项的和，当公比，n为偶数时， 则，，，均为0，不为等比数列，故C错误； 中，若，由余弦定理可得，即C为锐角，不能判断是锐角三角形，故D错误． 故选A． 8. 设的内角所对的边分别为，且，，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：， 由正弦定理可得 ， 展开并整理得， 化简得， 故， 令， ， 当时，取得最大值，代入可得， 故选A． 9. 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是 A.   B. C. D. 【答案】B 【解析】解：及， ， 又，， ， 又为锐角三角形，， ， ， ， ， 的取值范围为， 故选B． 10. 在锐角中，三内角A、B、C所对应的边为a、b、c，且向量，求的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：， ， 因为所以， ，所以，因为锐角，所以， ，， 所以， 的取值范围是 ， 故选D． 二、填空题 11. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】解：由题意，是锐角三角形，可得，，，， ， ． 又， ， ， 综上可得， 根据正弦定理： ； ， 所以 则． 故答案为． 12. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，______． 【答案】 【解析】解：因为， 所以由正弦定理可得 ， 即，． 又因为，所以， 由余弦定理可得，可得， 四边形面积 当时四边形面积最大，此时． 故， 故答案为 13. 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】解： ． 又，且， 所以． 设， 令， 则， 故在上单调递增， 所以． 所以的取值范围为， 故答案为： 14. 已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且在上是减函数，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由已知，，    在上恒成立， 恒成立， 时，， ． 故答案为． 三、解答题 15. 已知向量，向量，且函数． 求函数的单调递增区间及其对称中心； 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且角A满足若，BC边上的中线长为3，求的面积S； 将函数的图像向左平移个长度单位，向下平移个长度单位，再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的后得到函数的图像，令函数在的最小值为，求正实数的值． 【答案】解：因为代入向量， 向量， 结合诱导公式及正余弦的二倍角公式化简可得 所以 函数的单调递增区间满足， 解得 所以函数的单调递增区间为 令，解得， 则对称中心； ，得， 则， 又， BC上的中线长为