压轴10 导数中的函数不等式-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴10 导数中的函数不等式 一、单选题 1. 已知对任意实数x都有，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：令，则， 故设， ． ， ． 可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值． ，，，． 又时，时， 时，不等式的解集中恰有两个整数，． 故k的取值范围是． 2. 已知函数有两个极值点，且，若，函数，则 A. 仅有一个零点 B. 恰有两个零点 C. 恰有三个零点 D. 至少两个零点 【答案】A 【解析】解：，由题意知 所以， 又因为， 所以， 从而函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 记方程的另一个解为m， 所以， 所以有 所以 ， 所以， 从而有且仅有一个解，即函数有且仅有一个零点． 故选A． 3. 已知关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：依题意， ， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当时，，即， 在单调递增， 当， ，即， 在单调递减， 因为，， ， 且当时， ， 又， ， ， 故要使不等式的解集中只有两个整数， a的取值范围应为， 故选B． 4. 定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：根据题意，令， 其导数， 因为函数在上满足， 则有， 即在上为增函数， 又由，则， ， 又由在上为增函数， 则有，解得， 即不等式的解集为． 故选A． 5. 已知函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数， 则的解集中恰有三个不同的整数， 令，， 则的图象上只有三个横坐标为整数的点在直线的下方， ，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即当时，取得极小值，也是最小值， 且，，，， 直线恒过定点，且斜率为a， 由题意可知时，不满足条件，则， 此时，满足条件，由图象可知，此时只能时，满足条件， 则 解得． 故选D． 6. 若实数 满足 则 A. 均为定值 B. x不是定值，y是定值 C. x是定值，y不是定值 D. 均不为定值 【答案】A 【解析】解：令， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，的最小值为，所以，即， 则 ， 且 ， 两式相加得： 又因为  所以  此时，解得，所以均为定值， 故选A． 7. 已知函数在R上可导，且，当时，其导函数满足，则下列结论错误的是 A. 在上是增函数 B. 是函数的极小值点 C. 时恒成立 D. 函数至多有两个零点 【答案】C 【解析】解：构造函数， 则 根据，得 当时，函数为增函数；当时，函数为减函数，A正确； 为函数的极小值点，B正确； 当时，函数没有零点；当时，函数有1个零点；当时，函数至多有两个零点， 故至多有两个零点，D正确； ，当时，函数为减函数， 当时，，即，所以，C错误． 故选C． 8. 已知是定义在上的函数，是它的导函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：令， 则， 所以， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以， 则即为， 因为， 很明显时， 所以在单调递增， 解得所以． 故选D． 9. 已知函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数， 则的解集中恰有三个不同的整数， 令，， 则的图象上只有三个横坐标为整数的点在直线的下方， ，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即当时，取得极小值，也是最小值， 且，，，， 直线恒过定点，且斜率为a， 由题意可知时，不满足条件，则， 此时，满足条件，由图象可知，此时只能时，满足条件， 则 解得． 故选D． 10. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为  A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由函数可得， 设，则， 可得函数在R上单调递增，且， 由可得， 可得， 故不等式的解集为， 故选D． 二、填空题 11. 已知函数满足，且，则不等式的解集为          ． 【答案】 【解析】解：构造， 由条件得：， 所以函数在R上单调递增． 不等式可化为，即，所以有 所以不等式的解集为． 故答案为：． 12. 若函数在上为单调递增函数，则实数a的最大值为________． 【答案】 【解析】解：函数在上为单调递增函数 令， 则 要使得a的值最大，则也应取得最大值， 令，当；当时，；，当，故 故答案为． 13. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数