压轴08 导数中的恒成立与存在性问题-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴08 导数中的恒成立与存在性问题 一、单选题 1. 已知函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数，若对任意两个不相等的正数，，都有恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 令， 则， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 可得． 故选A． 2. 若对于任意的，有恒成立，则a的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：对任意的，，不妨设， 则恒成立， 等价于、， 即， 即， 令，则， 函数在为减函数， ，， 设，， ， 在为减函数， ，， 故a的最小值为， 故选C． 3. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，若存在实数，使得成立，则实数a的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：令，， 令，， 故在上是减函数，上是增函数， 故当时，y有最小值， 而， 当且仅当，即时，等号成立； 故当且仅当等号同时成立时，等号成立； 故， 即． 故选B． 4. 下列实数m的取值范围中，能使关于x的不等式恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：当时，关于x的不等式，即为，即有，不恒成立，故A错误； 当时，关于x的不等式，即为，设， ，当时，，递增，当时，，递减， 可得处取得极大值，且为最大值，可得对不恒成立，故B错误 当时，关于x的不等式，即为，设， ，当时，，递增，当时，，递减， 可得处取得极大值，且为最大值，可得对不恒成立，故D错误． 故选：C． 5. 已知三个函数，，若，，都有成立，求实数b的取值范围 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题知，． ． 在上单调递增；在上单调递减， 易知在区间上的最大值为， ，，都有成立， 即 即 解得， 故选C． 6. 定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 由题意，， 所以， 令，可得， 把代入，得， ，， 可知在R上是增函数，且， 当时，，当时，， 因此在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 等价于：对于恒成立， 构造函数，， 由对于恒成立， 可得 解得或， 故选D． 7. 已知函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意知，方程在上有解， 即，即在上有解， 即函数与在上有交点， 的导数为， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 可得处函数取得极大值， 函数与在上的图象，如图所示： 当直线与相切时，设切点为， 则，解得， 即切点为，可得， 由图象可得a的取值范围是． 故选C． 8. 已知函数，若对于，不等式恒成立，则整数k的最大值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】解：当时，不等式等价于， 令，则， 令，则恒成立， 函数在上单调递增， ，，即， 所以必存在唯一实数，使得，即． 且当时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 从而函数的最小值为 ， 故整数k的最大值为3，故选B． 9. 设函数，若不等式对任意都成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意可得，函数在R上单调递减， ， ， ， 令， 当时，：为增函数，减函数，为增函数， 则； 当时，：为增函数，为减函数； ； ． 故选A． 10. 设，若时恒有其中为自然对数的底数，则恒有零点的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：等价于， 令，则， 令，则， 令，解得， 函数在单调递增，在单调递减，注意到， 作函数的图象如下， 由图可知，的解集为， 当时，，则，此时无解； 当时，，则， 对A，取时，恒成立，不合题意； 对B、C，取时，恒成立，不合题意； 对D，事实上，，必有，因此必有零点． 故选：D． 二、填空题 11. 设，函数，，若对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】解：，，，  ，函数单调递增，  的最大值为； ，  ，令，，， 当，在上单调增， ， ； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 恒成立， 当时在上单调递减， 恒成立，  综上 ． 故答案为：． 12. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】解：由题意，函数， 求导得， 则由可知恒成立，故在单调递增， 不妨设，则， 从而有恒成立， 即恒成立， 设，则在单调递减， 所以恒成立， 整理得恒成立，设， 求导得，， 所以单调递减，则要恒成立， 只要， 故答案为． 13. 若不等式对一切恒成立，其