压轴07 函数的极值与最值问题-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴07 函数的极值与最值问题 一、单选题 1. 已知函数，关于x的方程有3个相异的实数根，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：当时，，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值； 当时，，，此时恒成立， 此时函数为增函数； 作出函数的图象如图： 设， 则时，方程有3个根； 当时，方程有2个根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有0个根． 方程可转化为， ， 则若有三个相异的实数根， 等价为方程有2个相异的实数根、， 其中，或， 当方程的两个实根满足时， 有，可得，此时满足条件； 当方程的两个实根满足时， 令，对称轴， 则，即，此时不等式无解； 综上可知，， 故选D． 2. 函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】解：， ， 则函数在与处取得极值， 要使函数的图像经过四个象限， 则， ， 或， 故选D． 3. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为函数， 所以当时，不等式可变为， 设，即函数在上单调递增， 所以在上恒成立． 因此，在上恒成立． 令， 由知，函数在， 所以， 所以，即． 所以实数a的取值范围为：． 故选A． 4. 已知函数为常数，当时取得极大值，当时取极小值，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【解答】 解：， ， 函数在时取得极大值，当时取极小值， 在和内各有一个根， ，，， 即， 在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图， 表示点与可行域内的点连线的距离的平方， 点到直线的距离为， 由与联立，可得交点为，与点的距离为5， 的取值范围是， 故选：D． 5. 若对于任意不等式恒成立，则实数m的最大值为 A. B. e C. 2e D. 【答案】C 【解析】解：令，，所以， 因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增， 因为当时，，且， 所以，使得， 并且当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且， 所以，， 所以 ， 所以， 考虑函数， 其中， 根据复合函数单调性可得函数在上单调递减， 因为，所以解得到，所以 因为在上单调递增，所以， 所以m的最大值为． 故选：C． 6. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为k倍值函数若是k倍值函数，则实数k的取值范围是 A. 十 B. ，十 C. D. 【答案】D 【解析】解：在定义域R内单调递增， ，， 即，， 即a，b是方程的两个不同根，显然不是方程的根， ， 设，， 或1时，，时，， 是的极小值点， 的极小值为， 又x从正向趋向0时，趋向趋向时，趋向， 当时，， 的图象如图所示， 由图可知时，和的图象有两个交点，方程有两个解， 实数k的取值范围是 故选D． 7. 已知函数，若，其中，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意，， ， 则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又时，，时，， 作函数的图象如下： 由图可知，当时，有唯一解， 故，且， ， 设，，则，令，解得， 易得当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故，即的最大值为． 故选C． 8. 已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：当时，， ， ， 当，， ， ， 综上可知：， 所以， 若有两个零点，， 则，有两个根，，不妨设， 当时，，当时，， 令，则，，，， ，， 设，， 求导，令，解得：， ，，函数单调递减， ，，函数单调递增， 当时，取最小值，， 的值域为， 取值范围， 故选A． 9. 已知函数的定义域为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：因为对任意的，，恒成立， 则， 即恒成立， 令，， 则，， ， 又表示曲线在上不同的两点割线的斜率的绝对值， 则， 则， 即k的范围． 故选：B． 10. 设函数是定义在上的单调函数，且，若不等式对恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设，则， 所以，令得，解得， 所以，， 当时，，可得在递减． 若不等式对恒成立， 即为对恒成立， 显然时，不等式即为，恒成立； 当时，， 可得， 设，， 由的导数为， 可得在递减，即有， 则，可得在递减， 又在递减， 则在递减， 当时，， 由，，的导数为， 可得在递减， 即有，即， 则， 可得， 所以，解得． 故选：D． 二、填空题 11. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为________． 【答案】e 【解析】解：由题设公切线与切于点，与切于点，