第三部分 解答题-专题4 立体几何-2016-2020五年高考理科数学真题分类【区块练】word

立体几何 1.[2020·新高考全国卷Ⅰ·20]如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 2.[2020·全国卷Ⅰ·18]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝eq \f(\r(6),6)DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B­PC­E的余弦值. 3. [2020·全国卷Ⅱ·20]如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； (2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 4. [2020·全国卷Ⅲ·19]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1. (1)证明：点C1在平面AEF内； (2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A­EF­A1的正弦值. 5.[2019·全国卷Ⅰ·18]如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求二面角A­MA1­N的正弦值. 6.[2019·全国卷Ⅱ·17]如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，求二面角B­EC­C1的正弦值. 7.[2019·全国卷Ⅲ·19]图甲是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图乙. (1)证明：图乙中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图乙中的二面角B­CG­A的大小. 甲　　　　 乙 8.[2018·全国卷Ⅰ·18]如图，四边形ABCD为正方形， E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 9.[2018·全国卷Ⅱ·20]如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点. (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值. 10.[2018·全国卷Ⅲ·19]如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧eq \o(CD,\s\up8(︵))所在的平面垂直，M是eq \o(CD,\s\up8(︵))上异于C，D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥M­ABC的体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值. 11.[2017·全国卷Ⅰ·18]如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值. 12.[2017·全国卷Ⅱ·19]如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点. (1)证明：直线CE∥平面PAB； (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M­AB­D的余弦值. 13.[2017·全国卷Ⅲ·19]如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D­AE­C的余弦值. 14.[2016·全国卷Ⅰ·18]如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E­BC­A的余弦值. 15.[2016·全国卷Ⅱ·19]如图，菱形ABCD的对角线A