第三部分 解答题-专题3 数列-2016-2020五年高考理科数学真题分类【区块练】word

数列 1.[2020·新高考全国卷Ⅰ·18]已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 2.[2020·全国卷Ⅰ·17]设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和. 3.[2020·全国卷Ⅲ·17]设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 4.[2019·全国卷Ⅱ·19]已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式. 5.[2018·全国卷Ⅱ·17]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值. 6.[2018·全国卷Ⅲ·17]在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m. 7.[2016·全国卷Ⅱ·17]Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求数列{bn}的前1 000项和. 8.[2016·全国卷Ⅲ·17]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an)是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝eq \f(31,32)，求λ. 专题3　数列 1.【考查目标】　本题主要考查等比数列的通项公式，数列求和，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算. 【思维导图】　(1)设{an}的公比为qeq \o(――――→,\s\up7(基本量法))a1，q→an＝2n (2)由已知→b1＝0，且2n≤m<2n＋1时，bm＝n→S100 【解】　(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得q＝eq \f(1,2)(舍去)，q＝2.由题设得a1＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n. 所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 【解题关键】　求解本题第(2)问的关键在于找准m的取值和an的联系，可从小到大进行列举，找规律，从而可得结果. 2.【考查目标】　本题主要考查等差中项，等比数列的通项公式与前n项和公式，错位相减法求数列的前n项和等知识，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算. 【解题思路】　(1)利用等差中项与等比数列的通项公式，得到关于公比的方程，解方程求出公比的值；(2)利用(1)的结论和等比数列的通项公式求出an，再利用错位相减法得数列{nan}的前n项和. 【解】(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2. 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1.所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n. 可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n ＝eq \f(1－（－2）n,3)－n×(－2)n. 所以Sn＝eq \f(1,9)－eq \f(（3n＋1）（－2）n,9). 【方法总结】　破解本题需过双关，一是“基本量法”关，若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”，在解决等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法；二是“错位相减法”关，注意其解题思路：乘以公比→错开位置相减→利用等比数列的前n项和公式→结果. 3.【考查目标】　本题主要考查等差数列的证明与错位相减法，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算. 【解题思路】　(1)主考虑a2a3，通过a1，a2，a3猜测通项公式，并结合已知等式证明；(2)根据错位相减法求数列的和. 【解】　(1)a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2